Номер 26.14, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

26.14. a) $\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ};$

б) $\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ}.$

а) $\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить тригонометрические функции в числителе через $\sin 17^\circ$.

1. Упростим $\cos 287^\circ$. Угол $287^\circ$ находится в IV четверти. Можно представить его как $270^\circ + 17^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos(270^\circ + \alpha) = \sin \alpha$.

$\cos 287^\circ = \cos(270^\circ + 17^\circ) = \sin 17^\circ$.

2. Упростим $\sin 557^\circ$. Угол $557^\circ$ больше $360^\circ$, поэтому сначала вычтем полный оборот:

$557^\circ = 360^\circ + 197^\circ$.

$\sin 557^\circ = \sin(360^\circ + 197^\circ) = \sin 197^\circ$.

Теперь для угла $197^\circ$, который находится в III четверти, применим формулу приведения. Представим его как $180^\circ + 17^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$.

$\sin 197^\circ = \sin(180^\circ + 17^\circ) = -\sin 17^\circ$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{11 \cos 287^\circ - 25 \sin 557^\circ}{\sin 17^\circ} = \frac{11 (\sin 17^\circ) - 25 (-\sin 17^\circ)}{\sin 17^\circ} = \frac{11 \sin 17^\circ + 25 \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ}$.

Сложим слагаемые в числителе:

$\frac{(11+25) \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ} = \frac{36 \sin 17^\circ}{\sin 17^\circ}$.

Сократим дробь на $\sin 17^\circ$ (поскольку $\sin 17^\circ \neq 0$):

$36$.

Ответ: 36

б) $\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить тригонометрические функции в числителе через $\cos 19^\circ$.

1. Упростим $\sin 469^\circ$. Угол $469^\circ$ больше $360^\circ$, вычтем полный оборот:

$469^\circ = 360^\circ + 109^\circ$.

$\sin 469^\circ = \sin(360^\circ + 109^\circ) = \sin 109^\circ$.

Угол $109^\circ$ находится во II четверти. Представим его как $90^\circ + 19^\circ$.

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$.

$\sin 109^\circ = \sin(90^\circ + 19^\circ) = \cos 19^\circ$.

2. Упростим $\cos 341^\circ$. Угол $341^\circ$ находится в IV четверти. Представим его как $360^\circ - 19^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

$\cos 341^\circ = \cos(360^\circ - 19^\circ) = \cos 19^\circ$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{13 \sin 469^\circ - 8 \cos 341^\circ}{\cos 19^\circ} = \frac{13 (\cos 19^\circ) - 8 (\cos 19^\circ)}{\cos 19^\circ}$.

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{(13-8) \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ} = \frac{5 \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ}$.

Сократим дробь на $\cos 19^\circ$ (поскольку $\cos 19^\circ \neq 0$):

$5$.

Ответ: 5