Номер 26.32, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.32. Постройте график функции:

a) $y = \sin (3\pi + 3x) \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \sin (4\pi - x) + \sin \frac{99\pi}{2}$;

б) $y = \cos (\pi + x) \cos \left(3\pi - \frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cos \frac{3\pi + x}{2} + \cos \frac{16\pi}{3}$.

а) Исходная функция: $y = \sin(3\pi + 3x) \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \sin(4\pi - x) + \sin\frac{99\pi}{2}$.
Упростим каждое слагаемое, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
1. $\sin(3\pi + 3x) = \sin(\pi + 2\pi + 3x) = \sin(\pi + 3x) = -\sin(3x)$.
2. $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)$.
3. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos(3x)$.
4. $\sin(4\pi - x) = \sin(2 \cdot 2\pi - x) = \sin(-x) = -\sin(x)$.
5. $\sin\frac{99\pi}{2} = \sin\left(\frac{96\pi + 3\pi}{2}\right) = \sin\left(48\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(24 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

Подставим упрощенные выражения в исходную формулу:
$y = (-\sin(3x)) \cdot (-\cos(x)) + (\cos(3x)) \cdot (-\sin(x)) - 1$
$y = \sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x) - 1$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:
$y = \sin(3x - x) - 1$
$y = \sin(2x) - 1$

График функции $y = \sin(2x) - 1$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие по оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вниз.
Область значений функции: $[-1 - 1, 1 - 1]$, то есть $[-2, 0]$.
Для построения графика можно найти ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, \pi]$:
- При $x=0$, $y = \sin(0) - 1 = -1$.
- При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$.
- При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.
- При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$.
- При $x=\pi$, $y = \sin(2\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.
График представляет собой синусоиду, колеблющуюся между $y=-2$ и $y=0$ с периодом $\pi$.

Ответ: $y = \sin(2x) - 1$.

б) Исходная функция: $y = \cos(\pi + x)\cos\left(3\pi - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos\frac{3\pi + x}{2} + \cos\frac{16\pi}{3}$.
Упростим каждое слагаемое, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
1. $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$.
2. $\cos\left(3\pi - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\pi + 2\pi - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
3. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$.
4. $\cos\frac{3\pi + x}{2} = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
5. $\cos\frac{16\pi}{3} = \cos\left(\frac{12\pi + 4\pi}{3}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим упрощенные выражения в исходную формулу:
$y = (-\cos(x)) \cdot \left(-\cos\frac{x}{2}\right) - (-\sin(x)) \cdot \left(\sin\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$
$y = \cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha = x$ и $\beta = \frac{x}{2}$:
$y = \cos\left(x - \frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$
$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$

График функции $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение по оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{1}{2}$ единицы вниз.
Область значений функции: $[-1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2}]$, то есть $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
Для построения графика можно найти ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 4\pi]$:
- При $x=0$, $y = \cos(0) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- При $x=\pi$, $y = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
- При $x=2\pi$, $y = \cos(\pi) - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
- При $x=3\pi$, $y = \cos(\frac{3\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
- При $x=4\pi$, $y = \cos(2\pi) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся между $y=-\frac{3}{2}$ и $y=\frac{1}{2}$ с периодом $4\pi$.

Ответ: $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$.