Номер 27.1, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.1. a) $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t;$

б) $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t};$

В) $\cos^2 t - \cos 2t;$

Г) $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t.$

а) Упростим выражение $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t$.

Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} - \sin t$

Сократим дробь на $\cos t$, при условии, что $\cos t \neq 0$:

$2 \sin t - \sin t$

Выполним вычитание и получим окончательный результат:

$\sin t$

Ответ: $\sin t$

б) Упростим выражение $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}$.

Применим формулу синуса двойного угла, представив $6t$ как $2 \cdot 3t$:

$\sin 6t = \sin(2 \cdot 3t) = 2 \sin 3t \cos 3t$

Подставим это в наше выражение:

$\frac{2 \sin 3t \cos 3t}{\cos^2 3t}$

Сократим дробь на $\cos 3t$, при условии, что $\cos 3t \neq 0$:

$\frac{2 \sin 3t}{\cos 3t}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получим:

$2 \tan 3t$

Ответ: $2 \tan 3t$

в) Упростим выражение $\cos^2 t - \cos 2t$.

Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла. Наиболее удобной здесь является $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим ее в выражение:

$\cos^2 t - (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t = \sin^2 t$

Ответ: $\sin^2 t$

г) Упростим выражение $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t$.

Для преобразования числителя дроби используем формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Сократим дробь на $(\cos t - \sin t)$, при условии, что $\cos t - \sin t \neq 0$:

$(\cos t + \sin t) - \sin t$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные члены:

$\cos t + \sin t - \sin t = \cos t$

Ответ: $\cos t$