Номер 26.35, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

26.35. а) $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi}{5}\right);$

б) $\arccos \left(\sin \frac{2\pi}{5}\right);$

в) $\arcsin \left(\sin \left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right);$

г) $\arccos \left(\cos \left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right).$

а) Вычислить $ \arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) $.

По определению, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, который принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и для которого $ \sin(\alpha) = a $.

В нашем случае мы ищем угол $ \alpha $, такой что $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и $ \sin(\alpha) = \sin\frac{2\pi}{5} $.

Проверим, принадлежит ли угол $ \frac{2\pi}{5} $ отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Для этого сравним $ \frac{2\pi}{5} $ с границами отрезка:

$ -\frac{\pi}{2} = -\frac{2.5\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $.

Так как $ -\frac{2.5\pi}{5} \le \frac{2\pi}{5} \le \frac{2.5\pi}{5} $, то угол $ \frac{2\pi}{5} $ принадлежит области значений арксинуса.

Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{5} $

б) Вычислить $ \arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) $.

Для того чтобы использовать свойство $ \arccos(\cos x) = x $, необходимо преобразовать синус в косинус. Воспользуемся формулой приведения: $ \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$ \sin\frac{2\pi}{5} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{5\pi - 4\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right) $.

Область значений арккосинуса — это отрезок $ [0, \pi] $. Угол $ \frac{\pi}{10} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{\pi}{10} \le \pi $.

Поэтому $ \arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{10} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{10} $

в) Вычислить $ \arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) $.

По определению, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, который принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и для которого $ \sin(\alpha) = a $.

Проверим, принадлежит ли угол $ -\frac{2\pi}{5} $ отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

$ -\frac{\pi}{2} = -\frac{2.5\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $.

Так как $ -\frac{2.5\pi}{5} \le -\frac{2\pi}{5} \le \frac{2.5\pi}{5} $, то угол $ -\frac{2\pi}{5} $ принадлежит области значений арксинуса.

Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = -\frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ -\frac{2\pi}{5} $

г) Вычислить $ \arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) $.

Область значений функции $ \arccos(x) $ — это отрезок $ [0, \pi] $. Угол $ -\frac{2\pi}{5} $ не принадлежит этому отрезку, так как он отрицательный.

Нам нужно найти такой угол $ y \in [0, \pi] $, что $ \cos(y) = \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) $.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Тогда $ \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) $.

Исходное выражение можно переписать как $ \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right) $.

Угол $ \frac{2\pi}{5} $ принадлежит отрезку $ [0, \pi] $, так как $ 0 \le \frac{2\pi}{5} \le \pi $.

Поэтому $ \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{5} $