Номер 26.36, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.36. a) $\arcsin(-\cos(\frac{4\pi}{5}))$;

б) $\arccos(\cos(-\frac{24\pi}{5}))$;

в) $\arctan(\cot(-\frac{21\pi}{5}))$;

г) $\arccot(\tan(\frac{27\pi}{7}))$.

а) Чтобы найти значение выражения $ \arcsin(-\cos\frac{4\pi}{5}) $, сначала преобразуем аргумент арксинуса. Воспользуемся формулой приведения $ -\cos(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) $.
Применим ее к нашему случаю:
$ -\cos\frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{4\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{8\pi - 5\pi}{10}) = \sin(\frac{3\pi}{10}) $.
Теперь исходное выражение принимает вид: $ \arcsin(\sin\frac{3\pi}{10}) $.
Область значений функции $ y = \arcsin(x) $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Значение $ \frac{3\pi}{10} $ принадлежит этому отрезку, так как $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{10} \le \frac{\pi}{2} $ (или $ -0.5\pi \le 0.3\pi \le 0.5\pi $).
Следовательно, $ \arcsin(\sin\frac{3\pi}{10}) = \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{10} $.

б) Рассмотрим выражение $ \arccos(\cos(-\frac{24\pi}{5})) $.
Функция косинус является четной, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(-\frac{24\pi}{5}) = \cos(\frac{24\pi}{5}) $.
Теперь упростим аргумент, используя периодичность косинуса (период $ 2\pi $):
$ \frac{24\pi}{5} = \frac{20\pi + 4\pi}{5} = 4\pi + \frac{4\pi}{5} $.
$ \cos(\frac{24\pi}{5}) = \cos(4\pi + \frac{4\pi}{5}) = \cos(\frac{4\pi}{5}) $.
Выражение принимает вид: $ \arccos(\cos\frac{4\pi}{5}) $.
Область значений функции $ y = \arccos(x) $ — это отрезок $ [0, \pi] $.
Значение $ \frac{4\pi}{5} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{4\pi}{5} \le \pi $.
Следовательно, $ \arccos(\cos\frac{4\pi}{5}) = \frac{4\pi}{5} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{5} $.

в) Найдем значение выражения $ \arctan(\cot(-\frac{21\pi}{5})) $. В русскоязычной литературе $ \arctan $ часто обозначается как $ \text{arctg} $, а $ \cot $ как $ \text{ctg} $.
Упростим аргумент котангенса, используя его нечетность и периодичность (период $ \pi $):
$ -\frac{21\pi}{5} = -\frac{20\pi + \pi}{5} = -4\pi - \frac{\pi}{5} $.
$ \cot(-\frac{21\pi}{5}) = \cot(-4\pi - \frac{\pi}{5}) = \cot(-\frac{\pi}{5}) = -\cot(\frac{\pi}{5}) $.
Выражение принимает вид: $ \arctan(-\cot\frac{\pi}{5}) $.
Используем формулу приведения $ \cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \cot(\frac{\pi}{5}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \tan(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \tan(\frac{3\pi}{10}) $.
Подставляем обратно: $ \arctan(-\tan\frac{3\pi}{10}) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ -\tan(x) = \tan(-x) $, то $ -\tan(\frac{3\pi}{10}) = \tan(-\frac{3\pi}{10}) $.
Получаем: $ \arctan(\tan(-\frac{3\pi}{10})) $.
Область значений функции $ y = \arctan(x) $ — это интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Значение $ -\frac{3\pi}{10} $ принадлежит этому интервалу, так как $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, $ \arctan(\tan(-\frac{3\pi}{10})) = -\frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ -\frac{3\pi}{10} $.

г) Найдем значение выражения $ \text{arcctg}(\tan\frac{27\pi}{7}) $.
Упростим аргумент тангенса, используя его периодичность (период $ \pi $):
$ \frac{27\pi}{7} = \frac{28\pi - \pi}{7} = 4\pi - \frac{\pi}{7} $.
$ \tan(\frac{27\pi}{7}) = \tan(4\pi - \frac{\pi}{7}) = \tan(-\frac{\pi}{7}) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ \tan(-\frac{\pi}{7}) = -\tan(\frac{\pi}{7}) $.
Выражение принимает вид: $ \text{arcctg}(-\tan\frac{\pi}{7}) $.
Используем свойство арккотангенса $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $:
$ \text{arcctg}(-\tan\frac{\pi}{7}) = \pi - \text{arcctg}(\tan\frac{\pi}{7}) $.
Теперь используем формулу приведения $ \tan(x) = \cot(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \tan(\frac{\pi}{7}) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cot(\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = \cot(\frac{5\pi}{14}) $.
Подставляем в выражение: $ \pi - \text{arcctg}(\cot\frac{5\pi}{14}) $.
Область значений функции $ y = \text{arcctg}(x) $ — это интервал $ (0, \pi) $.
Значение $ \frac{5\pi}{14} $ принадлежит этому интервалу, так как $ 0 < \frac{5\pi}{14} < \pi $.
Следовательно, $ \text{arcctg}(\cot\frac{5\pi}{14}) = \frac{5\pi}{14} $.
Окончательный результат: $ \pi - \frac{5\pi}{14} = \frac{14\pi - 5\pi}{14} = \frac{9\pi}{14} $.
Ответ: $ \frac{9\pi}{14} $.