Номер 2, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Опишите алгоритм построения графика гармонических колебаний $s = 2 \sin \left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ в системе координат tOs. Укажите амплитуду, частоту и начальную фазу этого колебания.

Для решения задачи проанализируем заданное уравнение гармонических колебаний $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ и сравним его с общей формой $s(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — угловая (циклическая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитуда $A$ — это максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. В уравнении она соответствует коэффициенту перед функцией синуса. В данном случае, $A = 2$.

Ответ: Амплитуда колебания равна $2$.

Угловая (циклическая) частота $\omega$ показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за единицу времени. В уравнении она является коэффициентом при времени $t$ внутри аргумента синуса. В данном случае, $\omega = \frac{1}{2}$ рад/с. Иногда под частотой понимают линейную частоту $\nu$, которая связана с угловой частотой соотношением $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$. Для данного колебания линейная частота составляет $\nu = \frac{1/2}{2\pi} = \frac{1}{4\pi}$ Гц.

Ответ: Угловая частота $\omega = \frac{1}{2}$ рад/с.

Начальная фаза $\phi_0$ определяет фазу колебания в начальный момент времени ($t=0$). В уравнении это свободный член в аргументе синуса. В данном случае, $\phi_0 = -\frac{\pi}{4}$ рад. Отрицательный знак указывает, что в момент $t=0$ колебания "отстают" по фазе от колебаний, описываемых функцией $\sin(\omega t)$.

Ответ: Начальная фаза равна $-\frac{\pi}{4}$ рад.

Построение графика функции $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ выполняется путем последовательных геометрических преобразований графика базовой функции $s_1 = \sin(t)$.

1. Базовый график. Построить график основной гармоники $s_1 = \sin(t)$. Это синусоида с амплитудой $1$ и периодом $T_1 = 2\pi$.
2. Горизонтальное растяжение. Выполнить растяжение графика $s_1$ вдоль оси абсцисс ($Ot$). Так как коэффициент при $t$ равен $\frac{1}{2}$, период функции увеличивается в $1 / (1/2) = 2$ раза. Получаем график функции $s_2 = \sin\left(\frac{t}{2}\right)$ с периодом $T_2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
3. Горизонтальный сдвиг. Выполнить сдвиг графика $s_2$ вдоль оси абсцисс ($Ot$). Для этого представим аргумент синуса в виде $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)$. Это означает, что график необходимо сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{2}$. Получаем график функции $s_3 = \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
4. Вертикальное растяжение. Выполнить растяжение графика $s_3$ вдоль оси ординат ($Os$). Множитель $2$ перед синусом означает, что амплитуда колебаний равна $2$. Необходимо растянуть график от оси $Ot$ в $2$ раза. Получаем итоговый график $s = 2 \sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$. Все значения функции будут лежать в пределах от $-2$ до $2$.

Для практического построения можно найти ключевые точки одного периода ($T = 4\pi$), учитывая фазовый сдвиг $t_{сдвиг} = \frac{\pi}{2}$:

• Начало периода (возрастание): $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = 0 \implies t = \frac{\pi}{2}$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Максимум: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{3\pi}{2}$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 2)$.
• Пересечение оси (убывание): $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi \implies t = \frac{5\pi}{2}$. Точка $(\frac{5\pi}{2}, 0)$.
• Минимум: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies t = \frac{7\pi}{2}$. Точка $(\frac{7\pi}{2}, -2)$.
• Конец периода: $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = 2\pi \implies t = \frac{9\pi}{2}$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, 0)$.

Соединив эти точки плавной кривой и продолжив ее периодически, получим искомый график.

Ответ: Алгоритм состоит из четырех последовательных преобразований графика $s=\sin(t)$: 1) горизонтальное растяжение в 2 раза (период становится $4\pi$); 2) горизонтальный сдвиг вправо на $\frac{\pi}{2}$; 3) вертикальное растяжение в 2 раза (амплитуда становится 2).