Номер 13, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Что называют основным периодом периодической функции?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. При этом также требуется, чтобы вместе с точкой $x$ в область определения входили и точки $x+T$ и $x-T$.

Если $T$ является периодом функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также будет её периодом. Это означает, что у периодической функции существует бесконечное множество периодов.

Например, для функции $y = \sin(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots$, а также $-2\pi, -4\pi, \ldots$.

Основным периодом периодической функции называется наименьший из всех её положительных периодов. Если такой наименьший положительный период существует, его обычно обозначают $T_0$.

Таким образом, число $T_0$ является основным периодом функции $f(x)$, если оно удовлетворяет трем условиям:

1. $T_0 > 0$ (период положителен).
2. $f(x+T_0) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (это период).
3. Не существует другого периода $T$ такого, что $0 < T < T_0$ (это наименьший положительный период).

Примеры:

• Основной период функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$.
• Основной период функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ равен $\pi$.

Важное замечание: не всякая периодическая функция имеет основной период. Например:

• Постоянная функция $f(x) = c$. Для неё периодом является любое действительное число $T \neq 0$. Так как не существует наименьшего положительного действительного числа, у этой функции нет основного периода.
• Функция Дирихле $D(x)$, которая равна 1 для рациональных $x$ и 0 для иррациональных $x$. Для неё периодом является любое рациональное число $T \neq 0$. Поскольку не существует наименьшего положительного рационального числа, у функции Дирихле также нет основного периода.

Ответ: Основным периодом периодической функции называют наименьшее положительное число $T$, для которого при всех значениях аргумента $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.