Номер 8, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Функция $y = \sin x$ является периодической функцией, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции равно 1, а глобальное наименьшее значение равно -1.

Основной период функции $y = \sin x$ равен $T = 2\pi$. Это значит, что график функции и все ее значения повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$. На любом отрезке длиной $2\pi$ функция $\sin x$ принимает все свои значения от -1 до 1 включительно.

Рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 10. Нам нужно доказать, что на любом таком промежутке функция $y = \sin x$ достигает своих значений 1 и -1. Для этого сравним длину промежутка с периодом функции.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда период $T = 2\pi \approx 2 \cdot 3.14159 = 6.28318$.

Длина нашего промежутка равна 10. Очевидно, что $10 > 6.28318$, то есть $10 > 2\pi$.

Поскольку длина рассматриваемого промежутка больше, чем период функции $y = \sin x$, на этом промежутке функция гарантированно совершит как минимум одно полное колебание. В течение одного полного колебания функция $\sin x$ проходит через все значения из своей области значений $[-1, 1]$. Следовательно, на этом промежутке она обязательно достигнет своего наибольшего значения $y_{наиб} = 1$ и своего наименьшего значения $y_{наим} = -1$.

Можно доказать это и более строго. Наибольшее значение, равное 1, функция $\sin x$ принимает в точках вида $x_k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Расстояние между двумя соседними такими точками максимума равно $2\pi$. Поскольку длина промежутка, равная 10, больше, чем расстояние между точками максимума ($10 > 2\pi$), в любой такой промежуток обязательно попадет хотя бы одна точка, в которой $\sin x = 1$. Аналогично, наименьшее значение, равное -1, функция принимает в точках вида $x_m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Расстояние между соседними точками минимума также равно $2\pi$. Так как $10 > 2\pi$, в любой промежуток длиной 10 обязательно попадет и точка, в которой $\sin x = -1$.

Таким образом, для функции $y=\sin x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$.

Ответ: Длина заданного промежутка, равная 10, больше периода функции $y = \sin x$, который равен $2\pi \approx 6.28$. Любой интервал, длина которого превышает период функции, обязательно содержит в себе все возможные значения функции. Поскольку область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, на любом промежутке длиной 10 функция достигнет как своего наибольшего значения 1, так и наименьшего значения -1.