Номер 3, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 7 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Функция $y = \sin x$ является периодической. Ее основной (наименьший положительный) период равен $T = 2\pi$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$, следовательно, ее глобальное наименьшее значение равно -1, а глобальное наибольшее значение равно 1.

Наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ функция принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Наименьшее значение $y_{наим} = -1$ функция принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Чтобы гарантировать, что на некотором числовом промежутке функция примет и свое наибольшее, и свое наименьшее значение, длина этого промежутка должна быть не меньше, чем расстояние между точкой максимума и точкой минимума, а чтобы это было верно для любого промежутка, его длина должна быть не меньше периода. За один период функция проходит полный цикл и принимает все возможные значения из своей области значений.

В задаче указана длина числового промежутка, равная 7. Сравним эту длину с периодом функции $y = \sin x$.

Период $T = 2\pi$. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159...$

$T = 2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318...$

Сравнивая длину промежутка 7 и период $2\pi$, получаем:

$7 > 6.28318...$, то есть $7 > 2\pi$.

Поскольку длина любого рассматриваемого промежутка (7) больше, чем период функции $\sin x$ ($2\pi$), такой промежуток всегда будет содержать в себе как минимум один полный цикл функции. В течение одного полного цикла функция $\sin x$ гарантированно достигает своего максимума (1) и минимума (-1). Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 7 всегда найдутся точки, в которых $y = 1$ и $y = -1$.

Ответ: Соотношения $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$ справедливы, потому что длина заданного промежутка (7) больше, чем период функции $y = \sin x$, который равен $2\pi \approx 6.28$. Это гарантирует, что на любом таком промежутке функция успеет принять все значения из своей области [-1, 1], включая наименьшее и наибольшее.