Номер 2, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

$\sin 15^{\circ}$, $\cos 120^{\circ}$, $\text{tg } 225^{\circ}$, $\text{ctg } 300^{\circ}$.

2. Объясните, почему $\sin 390^{\circ} = \frac{1}{2}$, а $\cos 540^{\circ} = -1$.

sin 390° = 1/2

Тригонометрическая функция синус ($sin$) является периодической. Ее период составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Это означает, что значения синуса повторяются через каждый полный оборот. Данное свойство можно выразить формулой приведения:
$sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти значение $sin(390^\circ)$, представим угол $390^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$

Применяя формулу приведения (при $k=1$), мы отбрасываем полный оборот и получаем:
$sin(390^\circ) = sin(360^\circ + 30^\circ) = sin(30^\circ)$

Значение $sin(30^\circ)$ является табличным и широко известным:
$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, равенство $sin(390^\circ) = 1/2$ является верным.

Ответ: Равенство верно, так как функция синуса периодична с периодом $360^\circ$, и $sin(390^\circ) = sin(360^\circ + 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

cos 540° = -1

Функция косинус ($cos$) также является периодической с периодом $360^\circ$. Ее свойство периодичности выражается аналогичной формулой:
$cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота и остатка:
$540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$

Используя свойство периодичности для косинуса (при $k=1$), получаем:
$cos(540^\circ) = cos(360^\circ + 180^\circ) = cos(180^\circ)$

Значение $cos(180^\circ)$ — это табличное значение. На единичной окружности угол в $180^\circ$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус равен абсциссе (координате по оси X) этой точки.
$cos(180^\circ) = -1$

Следовательно, равенство $cos(540^\circ) = -1$ также является верным.

Ответ: Равенство верно, так как функция косинуса периодична с периодом $360^\circ$, и $cos(540^\circ) = cos(360^\circ + 180^\circ) = cos(180^\circ) = -1$.