Номер 6, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Известно, что $\operatorname{tg} t = a, \pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите $\sin t, \cos t, \operatorname{ctg} t$.

ctg t
По определению, котангенс является обратной функцией к тангенсу: $ \ctg t = \frac{1}{\tg t} $.
Поскольку по условию $ \tg t = a $, мы можем сразу найти котангенс, подставив это значение в формулу.
$ \ctg t = \frac{1}{a} $.
Условие $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ t $ находится в третьей четверти. В этой четверти тангенс положителен, следовательно $ a > 0 $, и деление на $ a $ корректно.
Ответ: $ \ctg t = \frac{1}{a} $

cos t
Для вычисления косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $.
Подставим известное значение $ \tg t = a $:
$ 1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t} $
Выразим из этого уравнения $ \cos^2 t $:
$ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \cos t $:
$ \cos t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $
Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, в которой косинус принимает отрицательные значения ($ \cos t < 0 $).
Следовательно, мы выбираем знак "минус".
Ответ: $ \cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $

sin t
Синус можно найти, используя определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Отсюда выразим синус: $ \sin t = \tg t \cdot \cos t $.
Мы уже знаем, что $ \tg t = a $ и из предыдущего пункта $ \cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $. Подставим эти значения в формулу:
$ \sin t = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $
Проверим знак. В третьей четверти ($ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $) синус также отрицателен ($ \sin t < 0 $). Так как в этой же четверти $ \tg t = a > 0 $, а знаменатель $ \sqrt{1 + a^2} $ всегда положителен, то выражение $ -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $ действительно будет отрицательным, что соответствует нашему условию.
Ответ: $ \sin t = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} $