Номер 9, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Докажите, что $\operatorname{tg}(-t)=-\operatorname{tg} t, \operatorname{ctg}(-t)=-\operatorname{ctg} t.$

Для доказательства данных тождеств мы воспользуемся определениями функций тангенса и котангенса через синус и косинус, а также свойствами четности этих функций.

Нам понадобятся следующие свойства:

1. Функция синус является нечетной, то есть $sin(-t) = -sin(t)$.

2. Функция косинус является четной, то есть $cos(-t) = cos(t)$.

Доказательство тождества $tg(-t) = -tg(t)$

По определению тангенса: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$.

Запишем левую часть доказываемого тождества, используя это определение:

$tg(-t) = \frac{sin(-t)}{cos(-t)}$

Теперь применим свойства нечетности для синуса и четности для косинуса:

$\frac{sin(-t)}{cos(-t)} = \frac{-sin(t)}{cos(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:

$\frac{-sin(t)}{cos(t)} = -\frac{sin(t)}{cos(t)}$

Так как по определению $\frac{sin(t)}{cos(t)} = tg(t)$, мы получаем:

$-\frac{sin(t)}{cos(t)} = -tg(t)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $tg(-t) = -tg(t)$. Это свойство означает, что тангенс является нечетной функцией.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство тождества $ctg(-t) = -ctg(t)$

По определению котангенса: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$.

Запишем левую часть доказываемого тождества, используя это определение:

$ctg(-t) = \frac{cos(-t)}{sin(-t)}$

Применим свойства четности для косинуса и нечетности для синуса:

$\frac{cos(-t)}{sin(-t)} = \frac{cos(t)}{-sin(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:

$\frac{cos(t)}{-sin(t)} = -\frac{cos(t)}{sin(t)}$

Так как по определению $\frac{cos(t)}{sin(t)} = ctg(t)$, мы получаем:

$-\frac{cos(t)}{sin(t)} = -ctg(t)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $ctg(-t) = -ctg(t)$. Это свойство означает, что котангенс является нечетной функцией.

Ответ: Что и требовалось доказать.