Номер 8, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Объясните, почему $ \sin(-t) = -\sin t $, а $ \cos(-t) = \cos t $.

Данные равенства отражают свойства чётности и нечётности тригонометрических функций. Функция $y = \cos(t)$ является чётной, так как для любого $t$ выполняется равенство $f(-t) = f(t)$. Функция $y = \sin(t)$ является нечётной, так как для любого $t$ выполняется равенство $f(-t) = -f(t)$.

Объяснить эти свойства наиболее наглядно можно с помощью единичной тригонометрической окружности. Это окружность с радиусом $1$ и центром в начале координат.

Почему cos(-t) = cos t

По определению, косинус и синус угла $t$ — это абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1, 0)$ на угол $t$. Угол считается положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным при повороте по часовой стрелке.

Рассмотрим две точки на единичной окружности:

• Точка $P_1$, соответствующая углу $t$. Её координаты: $(\cos t, \sin t)$.
• Точка $P_2$, соответствующая углу $-t$. Её координаты: $(\cos(-t), \sin(-t))$.

Точки $P_1$ и $P_2$ получаются поворотом на один и тот же угол по величине, но в разных направлениях. Это означает, что эти точки симметричны относительно горизонтальной оси (оси абсцисс, Ox).

При симметрии относительно оси Ox абсцисса (координата $x$) точки не меняется, а ордината (координата $y$) меняет знак на противоположный.

Сравнивая абсциссы точек $P_1$ и $P_2$, получаем:

$x_{P_1} = x_{P_2}$

Поскольку $x_{P_1} = \cos t$, а $x_{P_2} = \cos(-t)$, то из этого следует равенство:

$\cos t = \cos(-t)$

Это свойство и означает, что косинус — чётная функция.

Ответ: Равенство $\cos(-t) = \cos t$ справедливо, потому что на единичной окружности углам $t$ и $-t$ соответствуют точки с одинаковой абсциссой (координатой x), а косинус угла по определению равен этой абсциссе. Это свойство называется чётностью функции косинус.

Почему sin(-t) = -sin t

Рассмотрим те же точки $P_1(\cos t, \sin t)$ и $P_2(\cos(-t), \sin(-t))$, соответствующие углам $t$ и $-t$. Как мы установили, эти точки симметричны относительно оси Ox.

При такой симметрии ординаты (координаты y) точек равны по модулю, но противоположны по знаку.

Сравнивая ординаты точек $P_1$ и $P_2$, получаем:

$y_{P_2} = -y_{P_1}$

Поскольку $y_{P_1} = \sin t$, а $y_{P_2} = \sin(-t)$, то из этого следует равенство:

$\sin(-t) = -\sin t$

Это свойство и означает, что синус — нечётная функция.

Ответ: Равенство $\sin(-t) = -\sin t$ справедливо, потому что на единичной окружности углам $t$ и $-t$ соответствуют точки с ординатами (координатами y), противоположными по знаку, а синус угла по определению равен этой ординате. Это свойство называется нечётностью функции синус.

Также эти тождества можно доказать алгебраически, используя формулы разности углов:

$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Подставим $a = 0$ и $b = t$. Учитывая, что $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$:

$\cos(0 - t) = \cos(0)\cos(t) + \sin(0)\sin(t) = 1 \cdot \cos(t) + 0 \cdot \sin(t) = \cos(t)$

$\sin(0 - t) = \sin(0)\cos(t) - \cos(0)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - 1 \cdot \sin(t) = -\sin(t)$