Номер 5, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Известно, что $ \cos t = a $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Вычислите $ \sin t $, $ \operatorname{tg} t $, $ \operatorname{ctg} t $.

По условию задачи известно, что $\cos t = a$ и угол $t$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти на тригонометрической окружности.

Во второй четверти тригонометрические функции имеют следующие знаки: $\sin t > 0$, $\cos t < 0$, $\operatorname{tg} t < 0$ и $\operatorname{ctg} t < 0$. Из того, что $\cos t < 0$, следует, что параметр $a$ является отрицательным числом. Поскольку угол $t$ находится в строгом интервале, то $-1 < \cos t < 0$, следовательно, $-1 < a < 0$.

sin t

Для нахождения $\sin t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Подставим в тождество известное значение $\cos t = a$:

$\sin^2 t + a^2 = 1$

Выразим $\sin^2 t$:

$\sin^2 t = 1 - a^2$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для синуса: $\sin t = \pm\sqrt{1 - a^2}$.

Так как угол $t$ принадлежит второй координатной четверти, где синус положителен ($\sin t > 0$), мы выбираем значение со знаком «+».

Ответ: $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$

tg t

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставим найденное выражение для $\sin t$ и данное для $\cos t$:

$\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

Проверим знак: числитель $\sqrt{1 - a^2}$ положителен, а знаменатель $a$ отрицателен, значит, вся дробь отрицательна, что соответствует знаку тангенса во второй четверти.

Ответ: $\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

ctg t

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим известные значения:

$\operatorname{ctg} t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$

Также можно найти котангенс как величину, обратную тангенсу: $\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}} = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$.

Знак выражения отрицателен, что соответствует знаку котангенса во второй четверти.

Ответ: $\operatorname{ctg} t = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$