Номер 2, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как, зная значение $ \text{cos } t $, найти значение $ \text{tg } t $?

2. Чтобы найти значение $\tg t$, зная значение $\cos t$, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами. Существует два основных способа.

Способ 1: Использование тождества, связывающего тангенс и косинус.

Этот способ является наиболее прямым. Он основан на тождестве: $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ (при условии, что $\cos t \neq 0$).

Алгоритм действий:

1. Выражаем из этого тождества $\tg^2 t$:
$\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$

2. Подставляем в эту формулу известное значение $\cos t$ и вычисляем значение $\tg^2 t$.

3. Находим $\tg t$, извлекая квадратный корень из полученного результата:
$\tg t = \pm \sqrt{\frac{1}{\cos^2 t} - 1}$

Знак (плюс или минус) перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Если четверть не указана, то однозначно определить знак тангенса невозможно. Тангенс положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV четвертях.

Способ 2: Через нахождение синуса.

Этот способ состоит из двух шагов:

1. Сначала находим $\sin t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из него выражаем $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$, а затем и сам синус:
$\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^2 t}$
Здесь также необходимо знать четверть, чтобы определить знак синуса.

2. Затем используем определение тангенса как отношения синуса к косинусу:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$
Подставив найденное значение $\sin t$ и известное значение $\cos t$, получаем искомое значение тангенса.

Ответ: Чтобы найти значение $\tg t$ по известному значению $\cos t$, необходимо использовать одну из формул, полученных из тригонометрических тождеств, например, $\tg t = \pm \sqrt{\frac{1}{\cos^2 t} - 1}$. Для однозначного определения значения $\tg t$ требуется дополнительная информация, указывающая на знак тангенса (например, в какой координатной четверти находится угол $t$).