Номер 3, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как, зная значение $sin t$, найти значение $ctg t$?

3. Чтобы найти значение $ctg\;t$ (котангенса угла $t$), зная значение $sin\;t$ (синуса угла $t$), можно воспользоваться одним из следующих способов, которые основаны на базовых тригонометрических тождествах.

Способ 1: Через определение котангенса и основное тригонометрическое тождество

1. Сначала воспользуемся определением котангенса:
$ctg\;t = \frac{cos\;t}{sin\;t}$

2. Значение $sin\;t$ нам известно. Найдем значение $cos\;t$ из основного тригонометрического тождества: $sin^2\;t + cos^2\;t = 1$.
Выразим из этого тождества $cos\;t$:
$cos^2\;t = 1 - sin^2\;t$
$cos\;t = \pm\sqrt{1 - sin^2\;t}$
Знак "+" или "–" перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Косинус положителен в I и IV четвертях и отрицателен во II и III четвертях.

3. Теперь подставим полученное выражение для $cos\;t$ в формулу для котангенса:
$ctg\;t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2\;t}}{sin\;t}$

Способ 2: Через тождество, напрямую связывающее котангенс и синус

1. Существует тождество, которое напрямую связывает $ctg\;t$ и $sin\;t$:
$1 + ctg^2\;t = \frac{1}{sin^2\;t}$

2. Выразим из него $ctg^2\;t$:
$ctg^2\;t = \frac{1}{sin^2\;t} - 1$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$ctg^2\;t = \frac{1 - sin^2\;t}{sin^2\;t}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $ctg\;t$:
$ctg\;t = \pm\sqrt{\frac{1 - sin^2\;t}{sin^2\;t}} = \pm\frac{\sqrt{1 - sin^2\;t}}{|sin\;t|}$

Оба способа приводят к результату, для нахождения которого требуется дополнительная информация. Само по себе значение $sin\;t$ не позволяет однозначно определить знак $ctg\;t$. Например, если $sin\;t = 0.5$, угол $t$ может находиться как в I четверти (где $ctg\;t > 0$), так и во II четверти (где $ctg\;t < 0$). Поэтому для однозначного ответа необходимо также знать, в какой четверти находится угол $t$.

Ответ: Зная значение $sin\;t$, значение $ctg\;t$ можно найти по формуле $ctg\;t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2\;t}}{sin\;t}$. Знак ("+" или "–") перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $t$, так как от этого зависит знак $cos\;t$.