Номер 7, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат $xOy$. Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат xOy.
Общее уравнение окружности в декартовой системе координат с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. По условию, центр окружности находится в начале координат, то есть $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Окружность является единичной, это означает, что ее радиус $R = 1$. Подставляем эти значения в общую формулу уравнения окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$
После упрощения получаем искомое уравнение:
$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$.

Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?
Основное тригонометрическое тождество является прямым следствием уравнения единичной окружности и определений тригонометрических функций. Рассмотрим произвольную точку $P(x, y)$, лежащую на единичной окружности. Положение этой точки на окружности можно задать углом $t$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси $Ox$.
Согласно определению тригонометрических функций через единичную окружность, абсцисса ($x$) и ордината ($y$) точки $P$ выражаются через угол $t$ следующим образом:
$x = \cos t$
$y = \sin t$
Поскольку точка $P(x, y)$ принадлежит единичной окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции:
$(\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1$
Это равенство, которое принято записывать в виде $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, и является основным тригонометрическим тождеством. Оно справедливо для любого значения угла $t$.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество получается путем подстановки в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ определений косинуса и синуса как координат точки на этой окружности: $x = \cos t$ и $y = \sin t$.