Номер 11, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$?

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \cos x$ монотонной на отрезке $[-1; 1]$, необходимо проанализировать ее поведение на этом отрезке. Функция является монотонной на некотором промежутке, если на всем этом промежутке она только возрастает или только убывает (включая случаи нестрогого возрастания/убывания).

Один из способов определить монотонность — исследовать знак производной функции. Если производная на всем интервале не меняет знак, то функция на этом интервале монотонна.

Найдем производную функции $y = \cos x$:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь рассмотрим знак производной $y' = -\sin x$ на отрезке $[-1; 1]$. Этот отрезок включает в себя точку $x=0$.

• На интервале $[-1; 0)$: значения $x$ отрицательны. В четвертой четверти (куда попадает этот интервал), синус отрицателен ($\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-1; 0]$.
• На интервале $(0; 1]$: значения $x$ положительны. В первой четверти (куда попадает этот интервал), синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; 1]$.

Поскольку производная функции меняет знак внутри отрезка $[-1; 1]$ (в точке $x=0$), функция не является монотонной на всем этом отрезке. Она возрастает на части отрезка и убывает на другой его части.

В качестве проверки можно сравнить значения функции в трех точках отрезка, например, $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$.

$y(-1) = \cos(-1) = \cos(1)$ (поскольку $\cos x$ — четная функция)

$y(0) = \cos(0) = 1$

$y(1) = \cos(1)$

Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, значение $\cos(1)$ находится между $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ и $\cos(0)=1$. Таким образом, $\cos(1) < 1$.

Сравнивая значения, получаем: $y(-1) < y(0)$ и $y(0) > y(1)$. Это нарушает определение монотонной функции, так как функция сначала возрастает, а затем убывает.

Ответ: Нет, утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$, нельзя.