Номер 1, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение функции $y = \arcsin x$.

1.

Функция $y = \arcsin x$ (читается "арксинус икс") является обратной тригонометрической функцией к функции $y = \sin x$.

Поскольку функция $y = \sin x$ периодическая, она принимает одинаковые значения при разных значениях аргумента (например, $\sin 0 = \sin \pi = \sin 2\pi = 0$). Это означает, что функция не является взаимно-однозначной (монотонной) на всей своей области определения. Для того чтобы у функции существовала обратная, необходимо рассмотреть ее на таком промежутке, где она монотонна. По общепринятому соглашению для функции синуса выбирается отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке $y = \sin x$ строго возрастает и принимает все значения от $-1$ до $1$ ровно по одному разу.

Функция, обратная к функции $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и называется арксинусом.

Определение. Арксинусом числа $a$ называется такое число (угол) $y$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Символически это определение можно записать так:$y = \arcsin a$ равносильно выполнению двух условий одновременно:

Из определения следуют основные свойства функции $y = \arcsin x$:

• Область определения (допустимые значения $x$): $D(\arcsin) = [-1, 1]$, так как синус любого угла может принимать значения только в этом диапазоне.
• Область значений (значения, которые принимает сама функция): $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Например, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Другой пример: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Функция $y=\arcsin x$ — это функция, обратная к функции $y=\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Арксинусом числа $x$ (при $|x| \le 1$) называется такое число $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin y = x$.