Номер 4, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте определение функции $y = \arccos x$.

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является одной из обратных тригонометрических функций. Она определяется как функция, обратная к функции косинуса ($y = \cos x$).

Поскольку функция $y = \cos x$ является периодической, она не является взаимно однозначной на всей своей области определения. Чтобы определить для нее обратную функцию, необходимо сузить ее область определения до интервала, на котором она монотонна. Стандартно для этого выбирают отрезок $[0, \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ монотонно убывает и принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.

Определение:
Арккосинусом числа $a$ называется такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Косинус этого числа $\alpha$ равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$.
2. Это число $\alpha$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Таким образом, запись $y = \arccos x$ равносильна одновременному выполнению двух условий: $\cos y = x$ и $0 \le y \le \pi$.

Из этого определения следуют основные свойства функции $y = \arccos x$:
Область определения: $D(f) = [-1, 1]$. Арккосинус можно вычислить только для чисел, модуль которых не превышает 1.
Область значений: $E(f) = [0, \pi]$. Результатом вычисления арккосинуса всегда является число (угол в радианах) из отрезка от 0 до $\pi$.

Примеры:
$\arccos(1) = 0$, так как $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0, \pi]$.
$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$.
$\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.

Ответ: Функция $y = \arccos x$ — это функция, обратная к функции $y = \cos x$, рассматриваемой на промежутке $[0, \pi]$. Формальное определение: арккосинусом числа $x$ (где $x \in [-1, 1]$) называется такое число $y$, что одновременно выполняются два условия: 1) $\cos y = x$ и 2) $0 \le y \le \pi$.