Номер 1, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос: если $t_0$ — одно из решений уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся числовой (тригонометрической) окружностью. На числовой окружности значение $\cos t$ соответствует абсциссе (горизонтальной координате) точки, соответствующей углу $t$.

Уравнение $\cos t = \frac{1}{3}$ означает, что мы ищем все углы $t$, для которых абсцисса точки на окружности равна $\frac{1}{3}$. Для этого проведем вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

По условию, $t_0$ — это одно из решений. Это значит, что $t_0$ является углом, который соответствует одной из этих двух точек пересечения. Обозначим эту точку $P_1$.

Вторая точка пересечения, назовем ее $P_2$, симметрична точке $P_1$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Если угол, соответствующий точке $P_1$, равен $t_0$, то угол, соответствующий симметричной точке $P_2$, будет равен $-t_0$. Это следует из свойства четности функции косинус: $\cos(-t) = \cos(t)$. Таким образом, если $\cos(t_0) = \frac{1}{3}$, то и $\cos(-t_0)$ также равно $\frac{1}{3}$.

Итак, на одном обороте ($[0, 2\pi]$ или $[-\pi, \pi]$) мы нашли два угла, удовлетворяющих уравнению: $t_0$ и $-t_0$.

Функция косинус является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что если мы к любому найденному решению добавим целое число полных оборотов (то есть $2\pi k$, где $k$ — любое целое число), мы вернемся в ту же точку на окружности, и значение косинуса не изменится.

Таким образом, все решения можно разбить на две серии:
1. Решения, соответствующие точке $P_1$: $t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Решения, соответствующие точке $P_2$: $t = -t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу, чтобы записать все решения уравнения.
Ответ: Все решения уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$ можно записать с помощью общей формулы: $t = \pm t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.