Номер 6, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Что называют однородным тригонометрическим уравнением третьей степени?

Определение

Однородным тригонометрическим уравнением третьей степени относительно синуса и косинуса называют уравнение, в котором каждый член представляет собой одночлен третьей степени от $\sin x$ и $\cos x$. Это означает, что сумма показателей степеней у $\sin x$ и $\cos x$ в каждом слагаемом равна трем.

Общий вид такого уравнения: $A \sin^3 x + B \sin^2 x \cos x + C \sin x \cos^2 x + D \cos^3 x = 0$ где $A, B, C, D$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов $A$ или $D$ не равен нулю, чтобы уравнение действительно было третьей степени.

Метод решения

Основной метод решения таких уравнений — сведение к алгебраическому уравнению относительно $\tan x$ путем деления всех членов уравнения на $\cos^3 x$.

1. Проверка случая $\cos x = 0$.
Прежде чем делить на $\cos^3 x$, необходимо убедиться, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$, то есть $\sin x = \pm 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение: $A (\pm 1)^3 + B (\pm 1)^2 \cdot 0 + C (\pm 1) \cdot 0^2 + D \cdot 0^3 = 0$ $\pm A = 0$, что означает $A = 0$.
Таким образом, если коэффициент $A \neq 0$, то $\cos x = 0$ не является решением уравнения, и мы можем смело делить на $\cos^3 x$. Если же $A=0$, то $\cos x = 0$ (то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$) является решением, а само уравнение можно упростить, вынеся $\cos x$ за скобки.

2. Деление на $\cos^3 x$ (при условии, что $A \neq 0$).
Разделим каждый член уравнения на $\cos^3 x$: $\frac{A \sin^3 x}{\cos^3 x} + \frac{B \sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} + \frac{C \sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + \frac{D \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

3. Переход к тангенсу.
Используя тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение: $A \tan^3 x + B \tan^2 x + C \tan x + D = 0$

4. Решение алгебраического уравнения.
Вводим замену переменной $t = \tan x$. Уравнение принимает вид кубического алгебраического уравнения: $At^3 + Bt^2 + Ct + D = 0$ Находим корни этого уравнения $t_1, t_2, \ldots$ (их может быть от одного до трех).

5. Обратная замена.
Для каждого найденного корня $t_k$ решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $\tan x = t_k$ Отсюда находим решения для $x$: $x = \arctan(t_k) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение третьей степени — это уравнение вида $A \sin^3 x + B \sin^2 x \cos x + C \sin x \cos^2 x + D \cos^3 x = 0$, где сумма степеней $\sin x$ и $\cos x$ в каждом члене равна трем.