Страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений.

Существует несколько основных методов решения тригонометрических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения.

1. Алгебраический метод (метод введения новой переменной)

Этот метод заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому (линейному, квадратному, кубическому и т.д.) относительно одной из тригонометрических функций. Для этого вводится новая переменная.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2(x) - 5\cos(x) + 2 = 0$.

Пусть $t = \cos(x)$. Так как область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$, то $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому его отбрасываем.

Возвращаемся к исходной переменной: $\cos(x) = t_1 = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в замене тригонометрической функции новой переменной, решении полученного алгебраического уравнения и последующем решении простейших тригонометрических уравнений. Решение примера: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Разложение на множители

Суть метода состоит в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Это приводит к совокупности более простых уравнений: $f_1(x)=0$, $f_2(x)=0$, ..., $f_n(x)=0$.

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.

Выносим общий множитель $\cos(x)$ за скобки:

$\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{3}) = 0$.

Уравнение распадается на два: 1) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0 \implies \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод применяется для преобразования уравнения в произведение нескольких сомножителей, равное нулю, что позволяет свести его к совокупности более простых уравнений. Решения примера: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Приведение к однородному уравнению

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ (где $a \ne 0, b \ne 0$). Оно решается делением обеих частей на $\cos(x)$ (или $\sin(x)$), что возможно, так как если бы $\cos(x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(x) = 0$, а это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Однородное уравнение второй степени имеет вид $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$. Оно решается делением на $\cos^2(x)$ (при условии $a \ne 0$) и сводится к квадратному уравнению относительно $\tan(x)$.

Пример: Решить уравнение $\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x) = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2(x) \neq 0$:

$\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \frac{3\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$.

$\tan^2(x) - 3\tan(x) + 2 = 0$.

Вводим замену $t = \tan(x)$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене: 1) $\tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\tan(x) = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в делении однородного уравнения на $\cos^k(x)$ (где $k$ – степень однородности) для получения алгебраического уравнения относительно $\tan(x)$. Решения примера: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Метод введения вспомогательного угла

Этот метод применяется к уравнениям вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$, где $a, b, c$ – некоторые коэффициенты. Суть метода в преобразовании выражения $a\sin(x) + b\cos(x)$ к виду $R\sin(x+\varphi)$ или $R\cos(x-\varphi)$.

Для этого обе части уравнения делят на $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}$.

Здесь $a = \sqrt{3}, b = 1$. Находим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Делим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Замечаем, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставляем:

$\cos(\frac{\pi}{6})\sin(x) + \sin(\frac{\pi}{6})\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

По формуле синуса суммы сворачиваем левую часть:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решаем простейшее уравнение:

$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод преобразует сумму синуса и косинуса с коэффициентами в одну тригонометрическую функцию с помощью введения вспомогательного угла. Решение примера: $x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5. Использование формул понижения степени

Метод используется для уравнений, содержащих четные степени синуса и косинуса. Применяются формулы: $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$, $\cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$. Это позволяет уменьшить степень функций в уравнении, но часто удваивает аргумент.

Пример: Решить уравнение $\cos^2(x) - \sin^2(2x) = \cos^2(3x)$.

Применим формулы понижения степени:

$\frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1-\cos(4x)}{2} = \frac{1+\cos(6x)}{2}$.

Умножим на 2 и упростим: $1 + \cos(2x) - (1 - \cos(4x)) = 1 + \cos(6x)$.

$\cos(2x) + \cos(4x) - \cos(6x) - 1 = 0$.

Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым и формулу косинуса двойного угла к третьему: $2\cos(3x)\cos(x) - (2\cos^2(3x)-1) - 1 = 0$.

$2\cos(3x)\cos(x) - 2\cos^2(3x) = 0$.

$2\cos(3x)(\cos(x) - \cos(3x)) = 0$.

Это приводит к совокупности уравнений: 1) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos(x) = \cos(3x) \implies x = \pm 3x + 2\pi k$. Отсюда получаем $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Серия $x = \pi k$ является частью серии $x = \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: Метод позволяет избавиться от четных степеней тригонометрических функций, заменяя их на функции первой степени с кратным аргументом. Решения примера: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

6. Метод оценки (использование ограниченности функций)

Этот метод основан на использовании свойств ограниченности тригонометрических функций (например, $|\sin(x)| \le 1$, $|\cos(x)| \le 1$). Он применяется в тех случаях, когда можно оценить левую и правую части уравнения.

Пример: Решить уравнение $\sin(x) + \cos(4x) = 2$.

Поскольку максимальное значение синуса и косинуса равно 1, сумма $\sin(x) + \cos(4x)$ может быть равна 2 только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны 1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x) = 1 \\ \cos(4x) = 1 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставляем это решение во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$\cos(4(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1$.

Так как второе уравнение выполняется для найденных значений $x$, то решения исходного уравнения совпадают с решениями первого уравнения системы.

Ответ: Метод основан на анализе области значений функций, входящих в уравнение. Решение возможно, когда обе части уравнения достигают своих предельных значений в одних и тех же точках. Решение примера: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7. Универсальная тригонометрическая подстановка

Этот метод заключается в выражении всех тригонометрических функций в уравнении через тангенс половинного угла $t = \tan(\frac{x}{2})$. Используются формулы: $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}$.

Этот метод является универсальным для уравнений, рационально зависящих от $\sin(x)$ и $\cos(x)$, но часто приводит к громоздким вычислениям. Важно помнить, что при такой замене теряются корни вида $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, так как для них $\tan(\frac{x}{2})$ не определен. Поэтому необходимо отдельно проверять, являются ли эти значения корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $3\sin(x) - 4\cos(x) = 3$.

Применим универсальную подстановку $t = \tan(\frac{x}{2})$:

$3\frac{2t}{1+t^2} - 4\frac{1-t^2}{1+t^2} = 3$.

Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$:

$6t - 4(1-t^2) = 3(1+t^2)$.

$6t - 4 + 4t^2 = 3 + 3t^2$.

$t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене: 1) $\tan(\frac{x}{2}) = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\tan(\frac{x}{2}) = -7 \implies \frac{x}{2} = \arctan(-7) + \pi n \implies x = 2\arctan(-7) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим возможную потерю корней. Подставим $x = \pi + 2\pi m$ в исходное уравнение:

$3\sin(\pi) - 4\cos(\pi) = 3 \cdot 0 - 4(-1) = 4 \neq 3$.

Значит, значения $x = \pi + 2\pi m$ не являются корнями, и мы не потеряли решений.

Ответ: Метод сводит тригонометрическое уравнение к рациональному алгебраическому уравнению относительно тангенса половинного угла, но требует проверки на потерю корней. Решения примера: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = 2\arctan(-7) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. В чём состоит суть метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений?

Суть метода введения новой переменной (или метода замены) при решении тригонометрических уравнений заключается в том, чтобы свести сложное тригонометрическое уравнение к более простому, как правило, алгебраическому уравнению (квадратному, дробно-рациональному и т.д.). Этот метод позволяет упростить структуру исходного уравнения, решив его в несколько шагов.

Алгоритм применения метода следующий:

1. Анализ уравнения и преобразование. Уравнение преобразуют таким образом, чтобы оно содержало одну и ту же тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента. Для этого могут использоваться основные тригонометрические тождества (например, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), формулы приведения, формулы двойного или половинного угла и т.д.
2. Введение новой переменной. Повторяющееся в уравнении тригонометрическое выражение заменяют новой переменной. Например, пусть $\sin x = t$. На этом шаге крайне важно определить область допустимых значений для новой переменной. Например, для $t = \sin x$ или $t = \cos x$ справедливо ограничение $|t| \le 1$, а для $t = \tan x$ или $t = \cot x$ переменная $t$ может принимать любые действительные значения.
3. Решение нового уравнения. Решают полученное алгебраическое уравнение относительно введенной переменной $t$.
4. Отбор корней. Из найденных значений $t$ выбирают только те, которые удовлетворяют ограничениям, установленным на шаге 2.
5. Обратная замена. Для каждого подходящего корня $t$ выполняют обратную замену, что приводит к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям. Например, если был найден корень $t_1$, то решают уравнение $\sin x = t_1$.
6. Решение простейших тригонометрических уравнений. Находят все решения полученных простейших уравнений, которые и будут являться решениями исходного уравнения.

Рассмотрим применение метода на примере.

Пример: Решить уравнение $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.

1. Уравнение уже содержит только одну функцию $\sin x$.
2. Введем новую переменную. Пусть $\sin x = t$. Так как область значений функции синус от $-1$ до $1$ включительно, то $|t| \le 1$.
3. Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
4. Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
5. Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$. Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$. Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $|2| > 1$. Этот корень является посторонним.
6. Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{2}$: $\sin x = \frac{1}{2}$.
7. Решим простейшее тригонометрическое уравнение. $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, с помощью замены сложная задача была сведена к последовательному решению двух более простых: квадратного уравнения и простейшего тригонометрического.

Ответ: Суть метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений состоит в замене повторяющегося тригонометрического выражения новой переменной с целью упрощения исходного уравнения и приведения его к стандартному алгебраическому виду (например, квадратному). После нахождения значений новой переменной и отсева неподходящих корней выполняется обратная замена, и задача сводится к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.

3. В чём состоит суть метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений?

Суть метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы преобразовать исходное уравнение к виду, где в левой части стоит произведение нескольких выражений (множителей), а в правой — ноль: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot ... \cdot f_n(x) = 0$.

Это преобразование основано на свойстве произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл (определены). Таким образом, сложное исходное уравнение заменяется совокупностью нескольких более простых уравнений:

$f_1(x) = 0$,
$f_2(x) = 0$,
...
$f_n(x) = 0$.

Решением исходного уравнения будет объединение решений всех этих более простых уравнений.

Основные шаги метода:

1. Перенести все слагаемые уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $F(x) = 0$.
2. Разложить выражение $F(x)$ на множители, используя подходящие алгебраические или тригонометрические преобразования (вынесение общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических тождеств и т.д.).
3. Приравнять каждый из полученных множителей к нулю.
4. Решить каждое из получившихся простейших уравнений.
5. Объединить найденные серии корней, исключив посторонние корни, если они появились (например, из-за ограничений на область определения функций $\tan x$, $\cot x$ или наличия знаменателей).

Пример:

Решить уравнение: $\sin(2x) - \cos x = 0$.

1. Используем формулу двойного угла для синуса $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$.

2. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$.

3. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

а) $\cos x = 0$

б) $2\sin x - 1 = 0$

4. Решаем каждое из них:

а) Для $\cos x = 0$ решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Для $2\sin x - 1 = 0$, имеем $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями являются $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Область допустимых значений для исходного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), поэтому посторонних корней нет. Объединяя эти два набора решений, получаем полный ответ для исходного уравнения.

Ответ:

Суть метода разложения на множители заключается в преобразовании тригонометрического уравнения к форме $f_1(x) \cdot f_2(x) = 0$, что позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x) = 0$ и $f_2(x) = 0$. Решением исходного уравнения является объединение решений этих простых уравнений с учётом области допустимых значений.

4. Что называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \sin x + b \cos x = 0$
где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что все его члены (в данном случае $a \sin x$ и $b \cos x$) имеют одинаковую, первую, степень относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента, а свободный член равен нулю.

Метод решения:

Основной метод решения таких уравнений — деление обеих частей на $\cos x$ (или на $\sin x$). Рассмотрим деление на $\cos x$. Этот метод можно использовать, если $\cos x \neq 0$.

Проверим, могут ли быть решения при условии $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin x = \pm 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:
$a \cdot (\pm 1) + b \cdot 0 = 0$
$\pm a = 0$, что означает $a = 0$.

Вывод:

• Если коэффициент $a = 0$, то уравнение принимает вид $b \cos x = 0$. Так как по условию $b \neq 0$ (иначе уравнение тривиально), решением будет $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Если коэффициент $a \neq 0$, то $\cos x$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $a=0$. Следовательно, в этом случае можно без потери корней разделить обе части уравнения на $\cos x$.

Итак, при $a \neq 0$ делим обе части уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ на $\cos x$:
$a \frac{\sin x}{\cos x} + b \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
$a \tan x + b = 0$
$\tan x = -\frac{b}{a}$

Решение этого уравнения имеет вид:
$x = \arctan(-\frac{b}{a}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
или, что то же самое:
$x = -\arctan(\frac{b}{a}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пример:

Решить уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.
Здесь $a = 1, b = \sqrt{3}$. Так как $a \neq 0$, делим обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3}\frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида $a \sin x + b \cos x = 0$, где $a$ и $b$ — коэффициенты, из которых хотя бы один не равен нулю.

5. Что называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени?

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида: $$a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$$ где $a$, $b$, $c$ – это действительные числовые коэффициенты, и хотя бы один из них отличен от нуля.

Основной характеристикой такого уравнения является то, что все его слагаемые имеют одинаковую степень относительно тригонометрических функций $\sin x$ и $\cos x$. В данном случае эта степень равна 2:

• Слагаемое $a\sin^2x$ имеет степень 2.
• Слагаемое $b\sin x \cos x$ (что эквивалентно $b\sin^1 x \cos^1 x$) имеет степень $1+1=2$.
• Слагаемое $c\cos^2x$ имеет степень 2.

Для решения такого уравнения используется стандартный метод — деление обеих частей на $\cos^2x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Алгоритм решения:

1. Проверить, являются ли решения уравнения $\cos x = 0$ корнями исходного уравнения. Если подставить $\cos x = 0$ в уравнение, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2x=1$. Уравнение примет вид $a \cdot 1 + b \cdot \sin x \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что равносильно $a = 0$.
   • Если $a \neq 0$, то $\cos x$ не может быть равен нулю. Следовательно, можно смело делить уравнение на $\cos^2x$.
   • Если $a = 0$, уравнение становится $b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos x$ за скобку: $\cos x(b\sin x + c\cos x) = 0$.
2. В случае, когда $a \neq 0$, разделить обе части уравнения $a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$ на $\cos^2x$: $$a\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + b\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + c\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$
3. Упростить уравнение, используя тождество $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$: $$a\tan^2x + b\tan x + c = 0$$
4. Ввести замену переменной $t = \tan x$ и решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ относительно $t$.
5. Найти корни $t_1, t_2$ (если они существуют).
6. Вернуться к исходной переменной и решить простейшие тригонометрические уравнения $\tan x = t_1$ и $\tan x = t_2$.

Пример решения:

Решим уравнение $2\sin^2x + 3\sin x \cos x - 5\cos^2x = 0$.

1. Коэффициент при $\sin^2x$ равен $2$, то есть $a=2 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $\cos^2x$.

2. Выполняем деление: $$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - 5\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$ $$2\tan^2x + 3\tan x - 5 = 0$$

3. Вводим замену $t = \tan x$: $$2t^2 + 3t - 5 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ $$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

5. Возвращаемся к замене: $$\tan x = -2.5 \quad \text{или} \quad \tan x = 1$$

6. Находим корни: $$x = \arctan(-2.5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$, где $a, b, c$ — это числовые коэффициенты, не все равные нулю, а сумма степеней тригонометрических функций в каждом слагаемом одинакова и равна двум.

6. Что называют однородным тригонометрическим уравнением третьей степени?

Определение

Однородным тригонометрическим уравнением третьей степени относительно синуса и косинуса называют уравнение, в котором каждый член представляет собой одночлен третьей степени от $\sin x$ и $\cos x$. Это означает, что сумма показателей степеней у $\sin x$ и $\cos x$ в каждом слагаемом равна трем.

Общий вид такого уравнения: $A \sin^3 x + B \sin^2 x \cos x + C \sin x \cos^2 x + D \cos^3 x = 0$ где $A, B, C, D$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов $A$ или $D$ не равен нулю, чтобы уравнение действительно было третьей степени.

Метод решения

Основной метод решения таких уравнений — сведение к алгебраическому уравнению относительно $\tan x$ путем деления всех членов уравнения на $\cos^3 x$.

1. Проверка случая $\cos x = 0$.
Прежде чем делить на $\cos^3 x$, необходимо убедиться, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$, то есть $\sin x = \pm 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение: $A (\pm 1)^3 + B (\pm 1)^2 \cdot 0 + C (\pm 1) \cdot 0^2 + D \cdot 0^3 = 0$ $\pm A = 0$, что означает $A = 0$.
Таким образом, если коэффициент $A \neq 0$, то $\cos x = 0$ не является решением уравнения, и мы можем смело делить на $\cos^3 x$. Если же $A=0$, то $\cos x = 0$ (то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$) является решением, а само уравнение можно упростить, вынеся $\cos x$ за скобки.

2. Деление на $\cos^3 x$ (при условии, что $A \neq 0$).
Разделим каждый член уравнения на $\cos^3 x$: $\frac{A \sin^3 x}{\cos^3 x} + \frac{B \sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} + \frac{C \sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + \frac{D \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

3. Переход к тангенсу.
Используя тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение: $A \tan^3 x + B \tan^2 x + C \tan x + D = 0$

4. Решение алгебраического уравнения.
Вводим замену переменной $t = \tan x$. Уравнение принимает вид кубического алгебраического уравнения: $At^3 + Bt^2 + Ct + D = 0$ Находим корни этого уравнения $t_1, t_2, \ldots$ (их может быть от одного до трех).

5. Обратная замена.
Для каждого найденного корня $t_k$ решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $\tan x = t_k$ Отсюда находим решения для $x$: $x = \arctan(t_k) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение третьей степени — это уравнение вида $A \sin^3 x + B \sin^2 x \cos x + C \sin x \cos^2 x + D \cos^3 x = 0$, где сумма степеней $\sin x$ и $\cos x$ в каждом члене равна трем.

7. Опишите алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени — это уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $c$ не равен нулю.

Алгоритм решения такого уравнения состоит из следующих шагов (рассматривается основной случай, когда коэффициент $a \neq 0$):

1. Проверка на возможность деления на $\cos^2(x)$

Основной метод решения — деление уравнения на $\cos^2(x)$. Чтобы это действие было корректным, нужно доказать, что $\cos(x) \neq 0$. Предположим обратное: пусть $\cos(x) = 0$. Тогда из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin^2(x) = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$a \cdot 1 + b \cdot \sin(x) \cdot 0 + c \cdot 0^2 = 0$

В результате получаем равенство $a = 0$. Это противоречит нашему условию, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и в данном уравнении $\cos(x)$ не может быть равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2(x)$, не опасаясь потери корней.

Примечание: Если в уравнении коэффициент $a = 0$, то оно принимает вид $b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$. Такое уравнение решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b \sin(x) + c \cos(x)) = 0$. Его решение распадается на два независимых уравнения: $\cos(x) = 0$ и $b \sin(x) + c \cos(x) = 0$.

Ответ: Проверить, что $\cos(x) \neq 0$. Если коэффициент $a \neq 0$, то деление на $\cos^2(x)$ возможно. Если $a=0$, уравнение решается методом разложения на множители.

2. Деление уравнения и введение новой переменной

Разделим обе части уравнения $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$ на $\cos^2(x)$:

$a \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, преобразуем уравнение к виду:

$a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tan(x)$. Для упрощения решения введем новую переменную, например, $t = \tan(x)$.

Ответ: Уравнение приводится к виду $a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$. После замены $t = \tan(x)$ получаем алгебраическое квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

3. Решение квадратного уравнения

Решаем полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ относительно переменной $t$. Для этого сначала находим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень кратности два: $t = \frac{-b}{2a}$.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, и исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.

Ответ: Найти корни $t_1, t_2$ (или один корень $t$) квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ или установить, что действительных корней нет.

4. Обратная замена и нахождение корней исходного уравнения

Для каждого найденного действительного корня $t_k$ необходимо вернуться к исходной переменной $x$. Для этого решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\tan(x) = t_k$

Решением каждого такого уравнения является серия корней:

$x_k = \arctan(t_k) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение исходного уравнения представляет собой объединение (совокупность) всех найденных серий корней.

Ответ: Выполнить обратную замену $t = \tan(x)$ и для каждого действительного корня $t_k$ решить простейшее тригонометрическое уравнение $\tan(x) = t_k$. Записать в ответ все полученные серии решений.

37.29. Сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежит:

а) отрезку $[2; 5];$

б) промежутку $(-\infty; 10)?$

а) отрезку [2; 5];

Чтобы найти, сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежат отрезку $[2; 5]$, необходимо решить двойное неравенство $2 \le y_n \le 5$ для натуральных чисел $n$ (то есть $n \in \mathbb{N}$).
Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:
1) $2n^2 - 7n + 5 \ge 2$
2) $2n^2 - 7n + 5 \le 5$

Решим первое неравенство:
$2n^2 - 7n + 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2n^2 - 7n + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $n_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$; $n_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $n \le 0.5$ или $n \ge 3$.

Решим второе неравенство:
$2n^2 - 7n + 5 \le 5$
$2n^2 - 7n \le 0$
$n(2n - 7) \le 0$
Корни левой части: $n=0$ и $n=3.5$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n$ направлены вверх, неравенство выполняется при $0 \le n \le 3.5$.

Теперь объединим решения. Мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют обоим условиям:
1) Из первого неравенства, так как $n$ натуральное, получаем $n \ge 3$.
2) Из второго неравенства, так как $n$ натуральное, получаем $n \in \{1, 2, 3\}$.
Единственное натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $n=3$.
Таким образом, только один член последовательности принадлежит данному отрезку.
Проверка: $y_3 = 2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2$. Значение $2$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.

Ответ: 1

б) промежутку (??; 10)?

Чтобы найти, сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежат промежутку $(-\infty; 10)$, необходимо решить неравенство $y_n < 10$ для натуральных чисел $n$.

Составим и решим неравенство:
$2n^2 - 7n + 5 < 10$
$2n^2 - 7n - 5 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2n^2 - 7n - 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49 + 40 = 89$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{7 - \sqrt{89}}{4} < n < \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$.

Оценим значения корней. Так как $9 < \sqrt{89} < 10$ (поскольку $9^2=81$ и $10^2=100$):
$n_1 = \frac{7 - \sqrt{89}}{4} \approx \frac{7 - 9.43}{4} \approx -0.61$
$n_2 = \frac{7 + \sqrt{89}}{4} \approx \frac{7 + 9.43}{4} \approx 4.11$
Следовательно, решение неравенства есть интервал $n \in (-0.61; 4.11)$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, возможные значения для $n$: $1, 2, 3, 4$.
Таким образом, четыре члена последовательности принадлежат данному промежутку.

Ответ: 4

Начиная с какого номера все члены последовательности $ (x_n) $ будут больше заданного числа $ A $?

37.30. a) $x_n = 3n - 2, A = 15;$

б) $x_n = 5^{n-1}, A = 125.$

а) Чтобы найти, с какого номера $n$ все члены последовательности $x_n = 3n - 2$ будут больше числа $A = 15$, необходимо решить неравенство $x_n > A$.

Составим и решим это неравенство:

$3n - 2 > 15$

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$3n > 15 + 2$

$3n > 17$

Разделим обе части на 3:

$n > \frac{17}{3}$

Выделим целую часть:

$n > 5\frac{2}{3}$

Номер члена последовательности $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 6. Так как данная последовательность является возрастающей (коэффициент при $n$ положителен), все члены, начиная с шестого, будут больше 15.

Ответ: начиная с номера 6.

б) Чтобы найти, с какого номера $n$ все члены последовательности $x_n = 5^{n-1}$ будут больше числа $A = 125$, необходимо решить неравенство $x_n > A$.

Составим и решим это неравенство:

$5^{n-1} > 125$

Представим число 125 как степень с основанием 5:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$

Подставим это значение в неравенство:

$5^{n-1} > 5^3$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$n - 1 > 3$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$n > 4$

Номер члена последовательности $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 5. Так как данная последовательность является возрастающей (основание степени больше 1), все члены, начиная с пятого, будут больше 125.

Ответ: начиная с номера 5.

37.31. a) $x_1 = 0, x_{n+1} = x_n + 3, A = 28;$

б) $x_1 = 1, x_{n+1} = 7x_n, A = 285.$

а)

В данном пункте задана последовательность с первым членом $x_1 = 0$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = x_n + 3$. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 0$.

Разность прогрессии $d$, равная $x_{n+1} - x_n$, составляет 3.

Общая формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получаем:

$x_n = 0 + (n-1) \cdot 3 = 3(n-1)$.

Задача состоит в том, чтобы определить, является ли число $A = 28$ членом этой последовательности. Для этого необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором $x_n = 28$.

Составим и решим уравнение:

$3(n-1) = 28$

Разделим обе части на 3:

$n-1 = \frac{28}{3}$

Выразим $n$:

$n = \frac{28}{3} + 1 = \frac{28}{3} + \frac{3}{3} = \frac{31}{3}$

Полученное значение $n = \frac{31}{3} = 10\frac{1}{3}$ не является натуральным числом, в то время как номер члена последовательности по определению должен быть натуральным ($n \in \mathbb{N}$).

Следовательно, число 28 не является членом данной последовательности. Это также можно заметить, если учесть, что все члены последовательности $x_n = 3(n-1)$ кратны 3, а число 28 на 3 не делится.

Ответ: Число $A=28$ не является членом данной последовательности.

б)

В данном пункте задана последовательность с первым членом $x_1 = 1$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 7x_n$. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = x_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q$, равный $\frac{x_{n+1}}{x_n}$, составляет 7.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем:

$x_n = 1 \cdot 7^{n-1} = 7^{n-1}$.

Задача состоит в том, чтобы определить, является ли число $A = 285$ членом этой последовательности. Для этого необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором $x_n = 285$.

Составим уравнение:

$7^{n-1} = 285$

Чтобы решить это уравнение, проверим, является ли 285 целой степенью числа 7. Вычислим несколько первых членов последовательности:

$x_1 = 7^{1-1} = 7^0 = 1$

$x_2 = 7^{2-1} = 7^1 = 7$

$x_3 = 7^{3-1} = 7^2 = 49$

$x_4 = 7^{4-1} = 7^3 = 343$

Из вычислений видно, что $x_3 = 49$, а следующий член $x_4 = 343$. Так как $49 < 285 < 343$, и последовательность с $q=7>1$ является строго возрастающей, число 285 не может быть одним из её членов.

Следовательно, не существует натурального числа $n$, для которого $x_n = 285$.

Ответ: Число $A=285$ не является членом данной последовательности.

37.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1:

а) $\frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, \dots$

б) $\frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, \dots$

в) $\frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, \dots$

г) $\frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, \dots ?$

а)

Данная последовательность $a_n$ является геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

$b_1 = \frac{1}{3125}$

$b_2 = \frac{1}{625}$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/625}{1/3125} = \frac{3125}{625} = 5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим наши значения: $a_n = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n-1} = \frac{1}{5^5} \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1-5} = 5^{n-6}$.

Теперь решим неравенство $a_n \le 1$:

$5^{n-6} \le 1$

Поскольку $1 = 5^0$, получаем:

$5^{n-6} \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$n-6 \le 0$

$n \le 6$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \ge 1$), то решениями являются $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего 6 членов последовательности не превосходят 1.

Ответ: 6.

б)

Рассмотрим последовательности числителей и знаменателей отдельно.

Последовательность числителей $c_n$: 6, 11, 16, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 6$ и разностью $d_c = 11-6=5$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d_c = 6 + (n-1)5 = 5n+1$.

Последовательность знаменателей $d_n$: 377, 379, 381, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 377$ и разностью $d_d = 379-377=2$. Формула n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d_d = 377 + (n-1)2 = 2n+375$.

Таким образом, формула n-го члена исходной последовательности: $a_n = \frac{c_n}{d_n} = \frac{5n+1}{2n+375}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$\frac{5n+1}{2n+375} \le 1$

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $2n+375$ всегда положителен. Можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака:

$5n+1 \le 2n+375$

$3n \le 374$

$n \le \frac{374}{3}$

$n \le 124\frac{2}{3}$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 124 включительно. Всего 124 члена.

Ответ: 124.

в)

Данная последовательность $a_n$ является геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

$b_1 = \frac{2}{729}$

$b_2 = \frac{2}{243}$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/243}{2/729} = \frac{729}{243} = 3$.

Формула n-го члена: $a_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{2}{729} \cdot 3^{n-1} = \frac{2}{3^6} \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-7}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$2 \cdot 3^{n-7} \le 1$

$3^{n-7} \le \frac{1}{2}$

Заметим, что $3^{-1} = \frac{1}{3}$, а $3^0 = 1$. Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$, то показатель степени $n-7$ должен быть меньше или равен -1.

$n-7 \le -1$

$n \le 6$

Поскольку $n$ — натуральное число, решениями являются $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего 6 членов.

Ответ: 6.

г)

Рассмотрим последовательности числителей и знаменателей отдельно.

Последовательность числителей $c_n$: 2, 9, 16, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 2$ и разностью $d_c = 9-2=7$. Формула n-го члена: $c_n = 2 + (n-1)7 = 7n-5$.

Последовательность знаменателей $d_n$: 219, 222, 225, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 219$ и разностью $d_d = 222-219=3$. Формула n-го члена: $d_n = 219 + (n-1)3 = 3n+216$.

Формула n-го члена исходной последовательности: $a_n = \frac{c_n}{d_n} = \frac{7n-5}{3n+216}$.

Решим неравенство $a_n \le 1$:

$\frac{7n-5}{3n+216} \le 1$

Знаменатель $3n+216$ положителен при $n \ge 1$, поэтому умножим на него обе части неравенства:

$7n-5 \le 3n+216$

$4n \le 221$

$n \le \frac{221}{4}$

$n \le 55.25$

Так как $n$ — натуральное число, оно может принимать значения от 1 до 55 включительно. Всего 55 членов.

Ответ: 55.

37.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности:

а) $y_n = n^2 - n - 6$;

б) $y_n = \frac{-181}{15 - 7n}$;

в) $y_n = n^2 - 6n + 8$;

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n - 5}$.

а) $y_n = n^2 - n - 6$

Чтобы найти отрицательные члены последовательности, необходимо решить неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$ (где $n$ - номер члена последовательности, $n \in \mathbb{N}$).

$n^2 - n - 6 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 6 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ и $n_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Графиком функции $y = n^2 - n - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $-2 < n < 3$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, этому условию удовлетворяют $n=1$ и $n=2$.

Вычислим значения этих членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$.

При $n=2$: $y_2 = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$.

Ответ: -6; -4.

б) $y_n = \frac{-181}{15 - 7n}$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$:

$\frac{-181}{15 - 7n} < 0$

Числитель дроби, -181, является отрицательным числом. Для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть положительным.

$15 - 7n > 0$

$15 > 7n$

$n < \frac{15}{7}$

Так как $\frac{15}{7} \approx 2,14$, а $n$ - натуральное число, то подходящие значения для $n$ - это $1$ и $2$.

Найдем эти члены последовательности:

При $n=1$: $y_1 = \frac{-181}{15 - 7 \cdot 1} = \frac{-181}{8} = -22,625$.

При $n=2$: $y_2 = \frac{-181}{15 - 7 \cdot 2} = \frac{-181}{15 - 14} = \frac{-181}{1} = -181$.

Ответ: -22,625; -181.

в) $y_n = n^2 - 6n + 8$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$.

$n^2 - 6n + 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - 6n + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$.

Ветви параболы $y = n^2 - 6n + 8$ направлены вверх, поэтому функция принимает отрицательные значения в интервале между корнями: $2 < n < 4$.

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=3$.

Найдем этот член последовательности:

При $n=3$: $y_3 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.

Ответ: -1.

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n - 5}$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$:

$\frac{1 + 2n}{9n - 5} < 0$

Поскольку $n$ - натуральное число ($n \ge 1$), числитель $1 + 2n$ всегда будет положительным. (При наименьшем возможном $n=1$, числитель равен $1 + 2 \cdot 1 = 3 > 0$).

Для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным.

$9n - 5 < 0$

$9n < 5$

$n < \frac{5}{9}$

Так как $\frac{5}{9} < 1$, не существует натуральных чисел $n$, которые бы удовлетворяли этому условию.

Следовательно, данная последовательность не имеет отрицательных членов.

Ответ: отрицательных членов нет.

37.34. Найдите число положительных членов последовательности:

а) $y_n = 4n - n^2$;

б) $y_n = \frac{140 - n^2}{6n - 11}$;

в) $y_n = -n^2 + 9n - 14$;

г) $y_n = \frac{123}{147 - 5n}$.

а) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = 4n - n^2$, необходимо решить неравенство $y_n > 0$ для натуральных значений $n$ (где $n$ - номер члена последовательности, $n \in \mathbb{N}$).

Решаем неравенство:

$4n - n^2 > 0$

Вынесем $n$ за скобки:

$n(4 - n) > 0$

Поскольку $n$ является натуральным числом, $n \ge 1$, то множитель $n$ всегда положителен. Для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен:

$4 - n > 0$

$n < 4$

Таким образом, мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условиям $n \ge 1$ и $n < 4$. Этим условиям удовлетворяют числа $n = 1, 2, 3$.

Следовательно, у последовательности 3 положительных члена.

Ответ: 3

б) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = \frac{140 - n^2}{6n - 11}$, необходимо решить неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$\frac{140 - n^2}{6n - 11} > 0$

Данное неравенство эквивалентно двум системам неравенств (метод интервалов):

1. Числитель и знаменатель положительны:

$\begin{cases} 140 - n^2 > 0 \\ 6n - 11 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} n^2 < 140 \\ 6n > 11 \end{cases} \implies \begin{cases} -\sqrt{140} < n < \sqrt{140} \\ n > \frac{11}{6} \end{cases}$

Учитывая, что $\sqrt{140} \approx 11.83$ и $\frac{11}{6} \approx 1.83$, получаем двойное неравенство для $n$: $1.83 < n < 11.83$.

Натуральные числа $n$, удовлетворяющие этому неравенству: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Всего 10 чисел.

2. Числитель и знаменатель отрицательны:

$\begin{cases} 140 - n^2 < 0 \\ 6n - 11 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} n^2 > 140 \\ n < \frac{11}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} n < -\sqrt{140} \text{ или } n > \sqrt{140} \\ n < \frac{11}{6} \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $n < -\sqrt{140}$ (т.е. $n < -11.83$). В этом промежутке нет натуральных чисел.

Таким образом, только 10 членов последовательности являются положительными.

Ответ: 10

в) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = -n^2 + 9n - 14$, решим неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$-n^2 + 9n - 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 9n + 14 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 9n + 14$. Найдем ее корни, решив уравнение $n^2 - 9n + 14 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{9-5}{2} = 2$, $n_2 = \frac{9+5}{2} = 7$.

График функции $f(n)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, неравенство $n^2 - 9n + 14 < 0$ выполняется при $2 < n < 7$.

Натуральные числа $n$, удовлетворяющие этому условию: 3, 4, 5, 6. Всего 4 числа.

Ответ: 4

г) Чтобы найти число положительных членов последовательности $y_n = \frac{123}{147 - 5n}$, решим неравенство $y_n > 0$ для натуральных $n$.

$\frac{123}{147 - 5n} > 0$

Числитель дроби, 123, является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным.

$147 - 5n > 0$

$147 > 5n$

$n < \frac{147}{5}$

$n < 29.4$

Поскольку $n$ — натуральное число, оно должно удовлетворять условию $1 \le n \le 29$.

Натуральные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3, ..., 29. Их количество равно 29.

Ответ: 29

37.35. Найдите наименьший член последовательности:

а) $y_n = n^2 - 42n + 13;$

б) $y_n = n^2 - 26n + 41.$

а)

Формула $n$-го члена последовательности $y_n = n^2 - 42n + 13$ представляет собой квадратичную функцию от $n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $n^2$ положителен ($a=1$). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = an^2 + bn + c$ находится по формуле $n_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной последовательности $a=1$ и $b=-42$.

Найдем номер члена, при котором достигается наименьшее значение:
$n_0 = -\frac{-42}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Так как $n_0=21$ является натуральным числом (номером члена последовательности), то наименьшим членом последовательности будет $y_{21}$.

Вычислим значение этого члена:
$y_{21} = 21^2 - 42 \cdot 21 + 13 = 441 - 882 + 13 = -428$.

Ответ: -428

б)

Аналогично, для последовательности $y_n = n^2 - 26n + 41$ мы имеем дело с квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх ($a=1$). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Здесь $a=1$ и $b=-26$. Найдем абсциссу вершины:
$n_0 = -\frac{-26}{2 \cdot 1} = \frac{26}{2} = 13$.

Так как $n_0=13$ — натуральное число, наименьшим членом последовательности является $y_{13}$.

Вычислим его значение:
$y_{13} = 13^2 - 26 \cdot 13 + 41 = 169 - 338 + 41 = -128$.

Ответ: -128

37.36. Укажите номер наибольшего члена последовательности:
a) $y_n = 303 + 38n - n^2;$
б) $y_n = 145 + 32n - n^2.$

а) $y_n = 303 + 38n - n^2$

Для нахождения номера наибольшего члена последовательности, необходимо найти значение $n$, при котором $y_n$ принимает максимальное значение. Выражение для $y_n$ является квадратичной функцией от $n$. Рассмотрим функцию $f(n) = -n^2 + 38n + 303$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $n^2$ отрицателен (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы вида $y = an^2 + bn + c$ вычисляется по формуле: $n_{вершины} = -b / (2a)$.

В данном случае, коэффициенты $a = -1$ и $b = 38$. Подставим эти значения в формулу:

$n_{вершины} = -38 / (2 \cdot (-1)) = -38 / (-2) = 19$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, и мы получили целое значение $n = 19$, это и есть искомый номер. Наибольший член последовательности имеет номер 19.

Ответ: 19

б) $y_n = 145 + 32n - n^2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = -n^2 + 32n + 145$. Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине.

Коэффициенты в данном случае: $a = -1$ и $b = 32$.

Найдем координату вершины параболы:

$n_{вершины} = -32 / (2 \cdot (-1)) = -32 / (-2) = 16$.

Мы получили целое натуральное число $n = 16$. Следовательно, наибольший член последовательности имеет номер 16.

Ответ: 16

•37.37. Найдите номер члена последовательности $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2}$, наиболее близкого к числу:

а) 25;

б) 2;

в) 5;

г) 41.

Для того чтобы найти номер члена последовательности $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2}$, наиболее близкого к заданному числу $A$, мы ищем натуральное число $n$, при котором значение $|y_n - A|$ будет минимальным.

Для этого сначала решим уравнение $y_n = A$ относительно $n$, чтобы найти "идеальный" (не обязательно целый) номер $n_0$. $ \frac{3n + 191}{3n + 2} = A $
$ 3n + 191 = A(3n + 2) $
$ 3n + 191 = 3An + 2A $
$ 191 - 2A = 3An - 3n $
$ 191 - 2A = n(3A - 3) $
$ n = \frac{191 - 2A}{3(A - 1)} $

Искомый номер $n$ будет одним из целых чисел, ближайших к полученному значению $n_0$. Проанализировав функцию $y_n = 1 + \frac{189}{3n+2}$, мы видим, что она является убывающей при $n \ge 1$. Это означает, что если $n_0$ находится между двумя целыми числами $k$ и $k+1$, то нам нужно сравнить расстояния $|y_k - A|$ и $|y_{k+1} - A|$.

а) 25;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=25$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 25}{3(25 - 1)} = \frac{191 - 50}{3 \cdot 24} = \frac{141}{72} = \frac{47}{24} \approx 1.958 $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 1.958$ — это $n=1$ и $n=2$. Сравним, какой из членов последовательности, $y_1$ или $y_2$, находится ближе к 25.
$ y_1 = \frac{3(1) + 191}{3(1) + 2} = \frac{194}{5} = 38.8 $
$ |y_1 - 25| = |38.8 - 25| = 13.8 $
$ y_2 = \frac{3(2) + 191}{3(2) + 2} = \frac{6 + 191}{8} = \frac{197}{8} = 24.625 $
$ |y_2 - 25| = |24.625 - 25| = |-0.375| = 0.375 $
Поскольку $0.375 < 13.8$, член $y_2$ ближе к 25.

Ответ: 2.

б) 2;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=2$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 2}{3(2 - 1)} = \frac{187}{3} = 62.333... $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 62.333$ — это $n=62$ и $n=63$. Сравним, какой из членов, $y_{62}$ или $y_{63}$, находится ближе к 2.
$ y_{62} = \frac{3(62) + 191}{3(62) + 2} = \frac{186 + 191}{186 + 2} = \frac{377}{188} $
$ |y_{62} - 2| = |\frac{377}{188} - 2| = |\frac{377 - 376}{188}| = \frac{1}{188} $
$ y_{63} = \frac{3(63) + 191}{3(63) + 2} = \frac{189 + 191}{189 + 2} = \frac{380}{191} $
$ |y_{63} - 2| = |\frac{380}{191} - 2| = |\frac{380 - 382}{191}| = |-\frac{2}{191}| = \frac{2}{191} $
Сравним дроби $\frac{1}{188}$ и $\frac{2}{191}$. Так как $1 \cdot 191 < 2 \cdot 188$ ($191 < 376$), то $\frac{1}{188} < \frac{2}{191}$. Следовательно, член $y_{62}$ ближе к 2.

Ответ: 62.

в) 5;

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=5$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 5}{3(5 - 1)} = \frac{181}{12} = 15.083... $
Ближайшие натуральные числа к $n_0 \approx 15.083$ — это $n=15$ и $n=16$. Сравним, какой из членов, $y_{15}$ или $y_{16}$, находится ближе к 5.
$ y_{15} = \frac{3(15) + 191}{3(15) + 2} = \frac{45 + 191}{47} = \frac{236}{47} $
$ |y_{15} - 5| = |\frac{236}{47} - 5| = |\frac{236 - 235}{47}| = \frac{1}{47} $
$ y_{16} = \frac{3(16) + 191}{3(16) + 2} = \frac{48 + 191}{50} = \frac{239}{50} = 4.78 $
$ |y_{16} - 5| = |4.78 - 5| = |-0.22| = 0.22 = \frac{11}{50} $
Сравним $\frac{1}{47}$ и $\frac{11}{50}$. Так как $1 \cdot 50 < 11 \cdot 47$ ($50 < 517$), то $\frac{1}{47} < \frac{11}{50}$. Значит, член $y_{15}$ ближе к 5.

Ответ: 15.

г) 41.

Найдём номер члена последовательности, наиболее близкого к числу $A=41$. $ n_0 = \frac{191 - 2 \cdot 41}{3(41 - 1)} = \frac{191 - 82}{3 \cdot 40} = \frac{109}{120} \approx 0.908 $
Полученное значение $n_0$ меньше 1. Номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, т.е. $n \ge 1$.
Исследуем поведение последовательности: $y_n = \frac{3n + 191}{3n + 2} = \frac{3n + 2 + 189}{3n + 2} = 1 + \frac{189}{3n + 2}$.
Так как с ростом $n$ знаменатель $3n+2$ увеличивается, дробь $\frac{189}{3n+2}$ уменьшается. Следовательно, последовательность $y_n$ является убывающей. Её первый член: $y_1 = 1 + \frac{189}{5} = 1 + 37.8 = 38.8$.
Поскольку $y_1 = 38.8$ — это наибольшее значение в последовательности, а число $A = 41$ больше $y_1$, то расстояние $|y_n - A|$ будет минимальным для самого большого члена последовательности, то есть для $y_1$.

Ответ: 1.

37.38. Дана последовательность $y_n = n^2 - 18n$.

а) Установите, сколько в ней отрицательных членов;

б) найдите наименьший член последовательности;

в) укажите номер члена последовательности, который равен 19;

г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Дана последовательность $y_n = n^2 - 18n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

а) Установите, сколько в ней отрицательных членов;

Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, необходимо решить неравенство $y_n < 0$ для натуральных значений $n$.

$n^2 - 18n < 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 18) < 0$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом, а значит $n > 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$n - 18 < 0$

$n < 18$

Таким образом, условию $y_n < 0$ удовлетворяют все натуральные числа $n$, которые меньше 18. Это числа $1, 2, 3, \dots, 17$.

Общее количество таких чисел равно 17.

Ответ: 17.

б) найдите наименьший член последовательности;

Формула $y_n = n^2 - 18n$ представляет собой квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 18n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине.

Координату вершины параболы по оси абсцисс (в нашем случае по $n$) найдем по формуле $n_{верш} = -\frac{b}{2a}$, где $a=1$ и $b=-18$.

$n_{верш} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

Так как $n=9$ является натуральным числом, то наименьший член последовательности будет именно $y_9$.

Вычислим значение этого члена:

$y_9 = 9^2 - 18 \cdot 9 = 81 - 162 = -81$

Ответ: -81.

в) укажите номер члена последовательности, который равен 19;

Чтобы найти номер члена, который равен 19, нужно решить уравнение $y_n = 19$.

$n^2 - 18n = 19$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 18n - 19 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-(-18) = 18$, а их произведение равно $-19$. Подбором находим корни: $n_1 = 19$ и $n_2 = -1$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -1$ не является решением задачи.

Следовательно, единственный подходящий номер — это $n=19$.

Ответ: 19.

г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [?15; 2].

Требуется найти количество натуральных чисел $n$, для которых выполняется двойное неравенство: $-15 \le y_n \le 2$.

$-15 \le n^2 - 18n \le 2$

Из пункта б) мы знаем, что наименьшее значение последовательности равно -81 и достигается при $n=9$. Парабола $y=n^2-18n$ симметрична относительно прямой $n=9$. Значения $y_n$ убывают при $1 \le n \le 9$ и возрастают при $n \ge 9$.

Вычислим значения членов последовательности, начиная с $n=1$ и $n=17$ (симметрично $n=1$):

$y_1 = 1^2 - 18 \cdot 1 = 1 - 18 = -17$. Это значение не входит в отрезок $[-15; 2]$.

$y_{17} = 17^2 - 18 \cdot 17 = 17(17-18) = -17$. Это значение также не входит в отрезок.

Для всех $n$ от 1 до 17 значения $y_n$ будут меньше или равны -17 (так как минимум $y_9=-81$). Значит, ни один из этих членов не принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Проверим следующие по порядку номера $n$:

$y_{18} = 18^2 - 18 \cdot 18 = 0$. Значение $0$ принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

$y_{19} = 19^2 - 18 \cdot 19 = 19(19-18) = 19$. Значение $19$ не принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Поскольку для $n \ge 9$ последовательность монотонно возрастает, все члены с номерами $n \ge 19$ будут больше 19, и, следовательно, также не будут принадлежать заданному отрезку.

Таким образом, только один член последовательности, $y_{18}$, принадлежит отрезку $[-15; 2]$.

Ответ: 1.