Страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график последовательности:

37.16. а) $y_n = 10 - n^3;$

б) $y_n = (-1)^n \sqrt{9n};$

в) $y_n = n^3 - 8;$

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}.$

Для построения графика последовательности необходимо найти несколько ее первых членов и отметить соответствующие точки на координатной плоскости. График последовательности представляет собой набор изолированных точек с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число (номер члена последовательности), а $y_n$ — значение этого члена.

а) $y_n = 10 - n^3$

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя натуральные числа $n = 1, 2, 3, 4, ...$ в формулу:

При $n=1$: $y_1 = 10 - 1^3 = 10 - 1 = 9$. Получаем точку $(1; 9)$.
При $n=2$: $y_2 = 10 - 2^3 = 10 - 8 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
При $n=3$: $y_3 = 10 - 3^3 = 10 - 27 = -17$. Получаем точку $(3; -17)$.
При $n=4$: $y_4 = 10 - 4^3 = 10 - 64 = -54$. Получаем точку $(4; -54)$.

График состоит из набора точек. С увеличением номера $n$ значения $y_n$ становятся все более отрицательными и быстро убывают. Точки графика лежат на кривой $y = 10 - x^3$.

Ответ: График последовательности — это множество точек $(n, 10 - n^3)$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; 9), (2; 2), (3; -17), (4; -54), \dots$. Последовательность быстро убывает.

б) $y_n = (-1)^n\sqrt{9n}$

Эта последовательность является знакочередующейся из-за множителя $(-1)^n$. Упростим формулу: $y_n = (-1)^n \cdot 3\sqrt{n}$.

Найдем первые несколько членов:

При $n=1$: $y_1 = (-1)^1 \cdot 3\sqrt{1} = -3$. Получаем точку $(1; -3)$.
При $n=2$: $y_2 = (-1)^2 \cdot 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. Получаем точку $(2; 3\sqrt{2})$.
При $n=3$: $y_3 = (-1)^3 \cdot 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \approx -5.20$. Получаем точку $(3; -3\sqrt{3})$.
При $n=4$: $y_4 = (-1)^4 \cdot 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$. Получаем точку $(4; 6)$.

Члены с нечетными номерами $n$ отрицательны и лежат на кривой $y = -3\sqrt{x}$. Члены с четными номерами $n$ положительны и лежат на кривой $y = 3\sqrt{x}$. Модуль членов последовательности $|y_n| = 3\sqrt{n}$ возрастает с увеличением $n$.

Ответ: График — это множество точек $(n, (-1)^n \cdot 3\sqrt{n})$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; -3), (2; 3\sqrt{2}), (3; -3\sqrt{3}), (4; 6), \dots$. Точки поочередно лежат ниже и выше оси абсцисс, удаляясь от нее с ростом $n$.

в) $y_n = n^3 - 8$

Найдем первые несколько членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(1; -7)$.
При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.
При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$. Получаем точку $(3; 19)$.
При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$. Получаем точку $(4; 56)$.

График состоит из набора точек. При $n=1$ значение отрицательно, при $n=2$ равно нулю, а при $n>2$ значения положительны и быстро возрастают. Точки графика лежат на кривой $y = x^3 - 8$.

Ответ: График последовательности — это множество точек $(n, n^3 - 8)$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; -7), (2; 0), (3; 19), (4; 56), \dots$. Последовательность быстро возрастает.

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$

Упростим формулу: $y_n = 4 - 2\sqrt{n}$.

Найдем первые несколько членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.
При $n=2$: $y_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17$. Получаем точку $(2; 4-2\sqrt{2})$.
При $n=3$: $y_3 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Получаем точку $(3; 4-2\sqrt{3})$.
При $n=4$: $y_4 = 4 - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.
При $n=5$: $y_5 = 4 - 2\sqrt{5} \approx 4 - 4.47 = -0.47$. Получаем точку $(5; 4-2\sqrt{5})$.

График состоит из набора точек. С увеличением $n$ значение $\sqrt{n}$ растет, поэтому значения $y_n$ убывают. При $n<4$ члены последовательности положительны, при $n=4$ член равен нулю, а при $n>4$ члены отрицательны. Точки графика лежат на кривой $y = 4 - 2\sqrt{x}$.

Ответ: График — это множество точек $(n, 4 - 2\sqrt{n})$ для всех натуральных $n$. Первые точки: $(1; 2), (2; 4-2\sqrt{2}), (3; 4-2\sqrt{3}), (4; 0), (5; 4-2\sqrt{5}), \dots$. Последовательность убывает.

37.17. а) $y_n = 2\sin \frac{\pi}{6} n;$

б) $y_n = (-1)^n \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n - 1).$

а) Рассмотрим последовательность $y_n = 2\sin(\frac{\pi}{6}n)$.

Для того чтобы определить, имеет ли последовательность предел при $n \to \infty$, исследуем ее поведение. Вычислим несколько первых членов последовательности:

$y_1 = 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$y_2 = 2\sin(\frac{2\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y_3 = 2\sin(\frac{3\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$

$y_4 = 2\sin(\frac{4\pi}{6}) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y_5 = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$y_6 = 2\sin(\frac{6\pi}{6}) = 2\sin(\pi) = 0$

$y_7 = 2\sin(\frac{7\pi}{6}) = 2\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -2\sin(\frac{\pi}{6}) = -1$

... и так далее.

Функция $\sin(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Аргумент синуса в нашей последовательности равен $\frac{\pi}{6}n$. Найдем период $T$ последовательности из условия $\frac{\pi}{6}(n+T) = \frac{\pi}{6}n + 2\pi k$ для некоторого целого $k$.

$\frac{\pi}{6}T = 2\pi k \implies T = 12k$.

Наименьший натуральный период равен $12$ (при $k=1$). Это означает, что значения последовательности циклически повторяются и не стремятся к какому-либо одному числу. Чтобы строго доказать отсутствие предела, рассмотрим две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.

1. Подпоследовательность с номерами $n_k = 3 + 12k$, где $k = 0, 1, 2, \dots$

$y_{n_k} = 2\sin(\frac{\pi}{6}(3+12k)) = 2\sin(\frac{3\pi}{6} + \frac{12k\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.

Предел этой подпоследовательности равен $\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = 2$.

2. Подпоследовательность с номерами $m_k = 9 + 12k$, где $k = 0, 1, 2, \dots$

$y_{m_k} = 2\sin(\frac{\pi}{6}(9+12k)) = 2\sin(\frac{9\pi}{6} + \frac{12k\pi}{6}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$.

Предел этой подпоследовательности равен $\lim_{k \to \infty} y_{m_k} = -2$.

Поскольку существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам ($2 \ne -2$), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: Последовательность расходится (не имеет предела).

б) Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^n \tg(\frac{\pi}{4}(2n - 1))$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности. Аргумент тангенса можно записать как $\frac{\pi}{4}(2n - 1) = \frac{2n\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

1. Пусть $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого натурального $k$.

$y_{2k} = (-1)^{2k} \tg(\frac{\pi}{4}(2(2k) - 1)) = 1 \cdot \tg(\frac{\pi}{4}(4k - 1)) = \tg(k\pi - \frac{\pi}{4})$.

Поскольку функция тангенс имеет период $\pi$, то $\tg(k\pi - \frac{\pi}{4}) = \tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Таким образом, для всех четных $n$, $y_n = -1$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$.

$y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} \tg(\frac{\pi}{4}(2(2k-1) - 1)) = -1 \cdot \tg(\frac{\pi}{4}(4k - 3)) = -\tg(k\pi - \frac{3\pi}{4})$.

Используя периодичность тангенса, получаем $\tg(k\pi - \frac{3\pi}{4}) = \tg(-\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\tg(-x) = -\tg(x)$ и $\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$, то $\tg(-\frac{3\pi}{4}) = -\tg(\frac{3\pi}{4}) = -(-1) = 1$.

Следовательно, $y_{2k-1} = -1 \cdot (1) = -1$.

Таким образом, для всех нечетных $n$, $y_n = -1$.

Мы показали, что для любого натурального $n$, как четного, так и нечетного, член последовательности $y_n$ равен $-1$.

Следовательно, данная последовательность является постоянной: $y_n = -1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Предел постоянной последовательности равен этому постоянному значению.

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (-1) = -1$.

Ответ: Последовательность сходится и ее предел равен -1.

37.18. a) Все натуральные числа, кратные пяти, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите седьмой, девятый, двенадцатый, $n$-й члены последовательности.

б) Все натуральные числа, кратные семи, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите шестой, десятый, тридцать первый, $n$-й члены последовательности.

а)

Последовательность состоит из натуральных чисел, кратных пяти, расположенных в порядке возрастания. Это значит, что первый член последовательности равен $5 \times 1 = 5$, второй — $5 \times 2 = 10$, третий — $5 \times 3 = 15$, и так далее. Следовательно, чтобы найти $n$-й член этой последовательности, нужно его номер $n$ умножить на 5. Формула для $n$-го члена ($a_n$) выглядит так: $a_n = 5n$.

Используя эту формулу, найдем требуемые члены последовательности:
- Седьмой член ($n=7$): $a_7 = 5 \cdot 7 = 35$.
- Девятый член ($n=9$): $a_9 = 5 \cdot 9 = 45$.
- Двенадцатый член ($n=12$): $a_{12} = 5 \cdot 12 = 60$.
- $n$-й член: $a_n = 5n$.

Ответ: седьмой член — 35, девятый — 45, двенадцатый — 60, $n$-й член — $5n$.

б)

Эта последовательность состоит из натуральных чисел, кратных семи, расположенных в порядке возрастания. По аналогии с предыдущим пунктом, чтобы найти $n$-й член этой последовательности ($b_n$), нужно его номер $n$ умножить на 7. Формула для $n$-го члена имеет вид: $b_n = 7n$.

Используя эту формулу, найдем указанные члены последовательности:
- Шестой член ($n=6$): $b_6 = 7 \cdot 6 = 42$.
- Десятый член ($n=10$): $b_{10} = 7 \cdot 10 = 70$.
- Тридцать первый член ($n=31$): $b_{31} = 7 \cdot 31 = 217$.
- $n$-й член: $b_n = 7n$.

Ответ: шестой член — 42, десятый — 70, тридцать первый — 217, $n$-й член — $7n$.

37.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности.

б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.

а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, можно описать общей формулой $a = 5k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Чтобы найти первые пять членов этой последовательности, нужно взять первые пять значений для $k$ (начиная с 0) и вычислить соответствующее значение $a$:

При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 2 = 2$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 2 = 12$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 2 = 17$
При $k=4$: $a_5 = 5 \cdot 4 + 2 = 22$

Таким образом, первые пять членов этой последовательности в порядке возрастания: 2, 7, 12, 17, 22.

Ответ: 2, 7, 12, 17, 22.

б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, можно описать общей формулой $a = 4k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Эта последовательность чисел является арифметической прогрессией. Найдем первые шесть её членов:

При $k=0$: $a_1 = 4 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $a_2 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$
При $k=2$: $a_3 = 4 \cdot 2 + 3 = 11$
При $k=3$: $a_4 = 4 \cdot 3 + 3 = 15$
При $k=4$: $a_5 = 4 \cdot 4 + 3 = 19$
При $k=5$: $a_6 = 4 \cdot 5 + 3 = 23$

Нам нужно найти сумму этих шести членов. Это сумма первых шести членов арифметической прогрессии, у которой первый член $a_1 = 3$, шестой член $a_6 = 23$, а количество членов $n=6$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_6 = \frac{3 + 23}{2} \cdot 6 = \frac{26}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 6 = 78$.

Ответ: 78.

37.20. a) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности. (Число 1 не считается ни простым, ни составным).

б) Известно, что $y_n$ — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: $y_5, y_8, y_{37}, y_{2n}, y_{2n+1}, y_{2n-3}$.

а) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Чтобы найти сумму первых восьми членов этой последовательности, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найти первые восемь простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. В условии указано, что 1 не является ни простым, ни составным числом.
Первые восемь простых чисел в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

2. Найти первые восемь членов последовательности, возведя в квадрат каждое из найденных простых чисел:
$a_1 = 2^2 = 4$
$a_2 = 3^2 = 9$
$a_3 = 5^2 = 25$
$a_4 = 7^2 = 49$
$a_5 = 11^2 = 121$
$a_6 = 13^2 = 169$
$a_7 = 17^2 = 289$
$a_8 = 19^2 = 361$

3. Сложить полученные восемь членов, чтобы найти их сумму:
$S_8 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$S_8 = (4 + 361) + (9 + 169) + (25) + (49 + 289) + (121)$
$S_8 = 365 + 178 + 25 + 338 + 121$
Проведем сложение:
$4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 13 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 38 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 87 + 121 + 169 + 289 + 361 = 208 + 169 + 289 + 361 = 377 + 289 + 361 = 666 + 361 = 1027$.

Ответ: 1027

б) Последовательность $(y_n)$ представляет собой все натуральные степени числа 3, расположенные в порядке возрастания. Это означает, что n-й член последовательности задается формулой $y_n = 3^n$, где $n$ — номер члена последовательности (натуральное число $n = 1, 2, 3, \dots$).

Используя эту формулу, найдем заданные члены последовательности:

Для $y_5$ подставляем $n=5$:
$y_5 = 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.

Для $y_8$ подставляем $n=8$:
$y_8 = 3^8 = 3^5 \times 3^3 = 243 \times 27 = 6561$.

Для $y_{37}$ подставляем $n=37$:
$y_{37} = 3^{37}$. Это очень большое число, поэтому его принято оставлять в виде степени.

Для $y_{2n}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n$:
$y_{2n} = 3^{2n}$.

Для $y_{2n+1}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n+1$:
$y_{2n+1} = 3^{2n+1}$.

Для $y_{2n-3}$ подставляем в формулу вместо $n$ выражение $2n-3$:
$y_{2n-3} = 3^{2n-3}$. Данное выражение имеет смысл, когда индекс $2n-3$ является натуральным числом, то есть $2n-3 \ge 1$, что означает $2n \ge 4$, или $n \ge 2$.

Ответ: $y_5 = 243$; $y_8 = 6561$; $y_{37} = 3^{37}$; $y_{2n} = 3^{2n}$; $y_{2n+1} = 3^{2n+1}$; $y_{2n-3} = 3^{2n-3}$.

37.21. Задайте формулой $n$-го члена и рекуррентным способом:

a) возрастающую последовательность всех чётных натуральных чисел, не делящихся на 4;

б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5;

в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно);

г) возрастающую последовательность всех чётных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).

а)

Нам нужна возрастающая последовательность всех чётных натуральных чисел, которые не делятся на 4. Выпишем несколько первых членов этой последовательности. Чётные натуральные числа — это 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... Из этого ряда нужно исключить числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, ... В результате получаем последовательность ($a_n$): 2, 6, 10, 14, ... Это арифметическая прогрессия. Её первый член $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d = 6 - 2 = 4$.

Формула n-го члена: Для арифметической прогрессии формула n-го члена имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставляя наши значения, получаем: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 = 2 + 4n - 4 = 4n - 2$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с разностью прогрессии. $a_{n+1} = a_n + 4$. Для полного определения последовательности нужно задать её первый член: $a_1 = 2$.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 4n - 2$. Реккуррентный способ: $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 4$.

б)

Нам нужна возрастающая последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5. Любое такое число можно представить в виде $13k + 5$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Выпишем первые члены последовательности ($b_n$): При $k=0: b_1 = 13 \cdot 0 + 5 = 5$. При $k=1: b_2 = 13 \cdot 1 + 5 = 18$. При $k=2: b_3 = 13 \cdot 2 + 5 = 31$. Последовательность: 5, 18, 31, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1 = 5$ и разностью $d = 18 - 5 = 13$.

Формула n-го члена: Используем формулу $b_n = b_1 + (n-1)d$: $b_n = 5 + (n-1) \cdot 13 = 5 + 13n - 13 = 13n - 8$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=13$. $b_{n+1} = b_n + 13$. Первый член последовательности: $b_1 = 5$.

Ответ: Формула n-го члена: $b_n = 13n - 8$. Реккуррентный способ: $b_1 = 5, b_{n+1} = b_n + 13$.

в)

Нам нужна возрастающая последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 одновременно. Если число делится на 3 и на 7, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 3 и 7 — простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(3, 7) = $3 \cdot 7 = 21$. Таким образом, мы ищем последовательность натуральных чисел, кратных 21. Последовательность ($c_n$): 21, 42, 63, 84, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 21$ и разностью $d = 21$.

Формула n-го члена: Каждый член последовательности является произведением номера члена $n$ на 21. $c_n = 21n$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=21$. $c_{n+1} = c_n + 21$. Первый член: $c_1 = 21$.

Ответ: Формула n-го члена: $c_n = 21n$. Реккуррентный способ: $c_1 = 21, c_{n+1} = c_n + 21$.

г)

Нам нужна возрастающая последовательность всех чётных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 одновременно. Это означает, что числа должны делиться на 2 (так как они чётные), на 3 и на 5. Следовательно, они должны быть кратны наименьшему общему кратному чисел 2, 3 и 5. Так как 2, 3 и 5 — простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(2, 3, 5) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Мы ищем последовательность натуральных чисел, кратных 30. Последовательность ($d_n$): 30, 60, 90, 120, ... Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 30$ и разностью $d = 30$.

Формула n-го члена: Каждый член последовательности является произведением номера члена $n$ на 30. $d_n = 30n$.

Реккуррентный способ: Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d=30$. $d_{n+1} = d_n + 30$. Первый член: $d_1 = 30$.

Ответ: Формула n-го члена: $d_n = 30n$. Реккуррентный способ: $d_1 = 30, d_{n+1} = d_n + 30$.

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

37.22. а) -1, -2, -3, -4, -5, ...;

б) 6, 12, 18, 24, 30, ...;

в) 10, 9, 8, 7, 6, ...;

г) 4, 8, 12, 16, 20, ....

а) Дана последовательность: -1, -2, -3, -4, -5, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Можно заметить, что каждый член последовательности равен своему порядковому номеру $n$, взятому с отрицательным знаком.
Для $n=1$, $a_1 = -1$.
Для $n=2$, $a_2 = -2$.
Для $n=3$, $a_3 = -3$, и так далее.
Таким образом, одна из возможных формул n-го члена последовательности: $a_n = -n$.
Ответ: $a_n = -n$.

б) Дана последовательность: 6, 12, 18, 24, 30, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Все члены последовательности кратны 6. Проверим гипотезу, что n-й член равен $6n$.
Для $n=1$, $a_1 = 6 \cdot 1 = 6$.
Для $n=2$, $a_2 = 6 \cdot 2 = 12$.
Для $n=3$, $a_3 = 6 \cdot 3 = 18$, и так далее.
Данная последовательность также является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=6$ и разностью $d=6$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1)6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.
Формула подтверждается. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 6n$.
Ответ: $a_n = 6n$.

в) Дана последовательность: 10, 9, 8, 7, 6, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Эта последовательность является арифметической прогрессией, поскольку каждый следующий член уменьшается на одно и то же число.
Первый член $a_1 = 10$.
Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 9 - 10 = -1$.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения: $a_n = 10 + (n-1)(-1) = 10 - n + 1 = 11 - n$.
Проверим формулу для нескольких членов:
Для $n=1$, $a_1 = 11 - 1 = 10$.
Для $n=2$, $a_2 = 11 - 2 = 9$.
Для $n=5$, $a_5 = 11 - 5 = 6$.
Формула верна. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 11 - n$.
Ответ: $a_n = 11 - n$.

г) Дана последовательность: 4, 8, 12, 16, 20, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Все члены последовательности кратны 4. Проверим гипотезу, что n-й член равен $4n$.
Для $n=1$, $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$.
Для $n=2$, $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Для $n=3$, $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$, и так далее.
Данная последовательность также является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=4$ и разностью $d=4$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)4 = 4 + 4n - 4 = 4n$.
Формула подтверждается. Одна из возможных формул n-го члена: $a_n = 4n$.
Ответ: $a_n = 4n$.