Номер 37.33, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности:

а) $y_n = n^2 - n - 6$;

б) $y_n = \frac{-181}{15 - 7n}$;

в) $y_n = n^2 - 6n + 8$;

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n - 5}$.

а) $y_n = n^2 - n - 6$

Чтобы найти отрицательные члены последовательности, необходимо решить неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$ (где $n$ - номер члена последовательности, $n \in \mathbb{N}$).

$n^2 - n - 6 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 6 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ и $n_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Графиком функции $y = n^2 - n - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $-2 < n < 3$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, этому условию удовлетворяют $n=1$ и $n=2$.

Вычислим значения этих членов последовательности:

При $n=1$: $y_1 = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$.

При $n=2$: $y_2 = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$.

Ответ: -6; -4.

б) $y_n = \frac{-181}{15 - 7n}$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$:

$\frac{-181}{15 - 7n} < 0$

Числитель дроби, -181, является отрицательным числом. Для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть положительным.

$15 - 7n > 0$

$15 > 7n$

$n < \frac{15}{7}$

Так как $\frac{15}{7} \approx 2,14$, а $n$ - натуральное число, то подходящие значения для $n$ - это $1$ и $2$.

Найдем эти члены последовательности:

При $n=1$: $y_1 = \frac{-181}{15 - 7 \cdot 1} = \frac{-181}{8} = -22,625$.

При $n=2$: $y_2 = \frac{-181}{15 - 7 \cdot 2} = \frac{-181}{15 - 14} = \frac{-181}{1} = -181$.

Ответ: -22,625; -181.

в) $y_n = n^2 - 6n + 8$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$.

$n^2 - 6n + 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - 6n + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$.

Ветви параболы $y = n^2 - 6n + 8$ направлены вверх, поэтому функция принимает отрицательные значения в интервале между корнями: $2 < n < 4$.

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=3$.

Найдем этот член последовательности:

При $n=3$: $y_3 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.

Ответ: -1.

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n - 5}$

Решаем неравенство $y_n < 0$ для натуральных $n$:

$\frac{1 + 2n}{9n - 5} < 0$

Поскольку $n$ - натуральное число ($n \ge 1$), числитель $1 + 2n$ всегда будет положительным. (При наименьшем возможном $n=1$, числитель равен $1 + 2 \cdot 1 = 3 > 0$).

Для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным.

$9n - 5 < 0$

$9n < 5$

$n < \frac{5}{9}$

Так как $\frac{5}{9} < 1$, не существует натуральных чисел $n$, которые бы удовлетворяли этому условию.

Следовательно, данная последовательность не имеет отрицательных членов.

Ответ: отрицательных членов нет.