Номер 37.29, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.29. Сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежит:

а) отрезку $[2; 5];$

б) промежутку $(-\infty; 10)?$

а) отрезку [2; 5];

Чтобы найти, сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежат отрезку $[2; 5]$, необходимо решить двойное неравенство $2 \le y_n \le 5$ для натуральных чисел $n$ (то есть $n \in \mathbb{N}$).
Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:
1) $2n^2 - 7n + 5 \ge 2$
2) $2n^2 - 7n + 5 \le 5$

Решим первое неравенство:
$2n^2 - 7n + 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2n^2 - 7n + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $n_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$; $n_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $n \le 0.5$ или $n \ge 3$.

Решим второе неравенство:
$2n^2 - 7n + 5 \le 5$
$2n^2 - 7n \le 0$
$n(2n - 7) \le 0$
Корни левой части: $n=0$ и $n=3.5$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n$ направлены вверх, неравенство выполняется при $0 \le n \le 3.5$.

Теперь объединим решения. Мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют обоим условиям:
1) Из первого неравенства, так как $n$ натуральное, получаем $n \ge 3$.
2) Из второго неравенства, так как $n$ натуральное, получаем $n \in \{1, 2, 3\}$.
Единственное натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $n=3$.
Таким образом, только один член последовательности принадлежит данному отрезку.
Проверка: $y_3 = 2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2$. Значение $2$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.

Ответ: 1

б) промежутку (??; 10)?

Чтобы найти, сколько членов последовательности $y_n = 2n^2 - 7n + 5$ принадлежат промежутку $(-\infty; 10)$, необходимо решить неравенство $y_n < 10$ для натуральных чисел $n$.

Составим и решим неравенство:
$2n^2 - 7n + 5 < 10$
$2n^2 - 7n - 5 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2n^2 - 7n - 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49 + 40 = 89$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$.
Так как ветви параболы $y = 2n^2 - 7n - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{7 - \sqrt{89}}{4} < n < \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$.

Оценим значения корней. Так как $9 < \sqrt{89} < 10$ (поскольку $9^2=81$ и $10^2=100$):
$n_1 = \frac{7 - \sqrt{89}}{4} \approx \frac{7 - 9.43}{4} \approx -0.61$
$n_2 = \frac{7 + \sqrt{89}}{4} \approx \frac{7 + 9.43}{4} \approx 4.11$
Следовательно, решение неравенства есть интервал $n \in (-0.61; 4.11)$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, возможные значения для $n$: $1, 2, 3, 4$.
Таким образом, четыре члена последовательности принадлежат данному промежутку.

Ответ: 4