Номер 7, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Опишите алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени — это уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $c$ не равен нулю.

Алгоритм решения такого уравнения состоит из следующих шагов (рассматривается основной случай, когда коэффициент $a \neq 0$):

1. Проверка на возможность деления на $\cos^2(x)$

Основной метод решения — деление уравнения на $\cos^2(x)$. Чтобы это действие было корректным, нужно доказать, что $\cos(x) \neq 0$. Предположим обратное: пусть $\cos(x) = 0$. Тогда из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin^2(x) = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$a \cdot 1 + b \cdot \sin(x) \cdot 0 + c \cdot 0^2 = 0$

В результате получаем равенство $a = 0$. Это противоречит нашему условию, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и в данном уравнении $\cos(x)$ не может быть равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2(x)$, не опасаясь потери корней.

Примечание: Если в уравнении коэффициент $a = 0$, то оно принимает вид $b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$. Такое уравнение решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b \sin(x) + c \cos(x)) = 0$. Его решение распадается на два независимых уравнения: $\cos(x) = 0$ и $b \sin(x) + c \cos(x) = 0$.

Ответ: Проверить, что $\cos(x) \neq 0$. Если коэффициент $a \neq 0$, то деление на $\cos^2(x)$ возможно. Если $a=0$, уравнение решается методом разложения на множители.

2. Деление уравнения и введение новой переменной

Разделим обе части уравнения $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$ на $\cos^2(x)$:

$a \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

Используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, преобразуем уравнение к виду:

$a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\tan(x)$. Для упрощения решения введем новую переменную, например, $t = \tan(x)$.

Ответ: Уравнение приводится к виду $a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$. После замены $t = \tan(x)$ получаем алгебраическое квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

3. Решение квадратного уравнения

Решаем полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ относительно переменной $t$. Для этого сначала находим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень кратности два: $t = \frac{-b}{2a}$.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, и исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.

Ответ: Найти корни $t_1, t_2$ (или один корень $t$) квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ или установить, что действительных корней нет.

4. Обратная замена и нахождение корней исходного уравнения

Для каждого найденного действительного корня $t_k$ необходимо вернуться к исходной переменной $x$. Для этого решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\tan(x) = t_k$

Решением каждого такого уравнения является серия корней:

$x_k = \arctan(t_k) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение исходного уравнения представляет собой объединение (совокупность) всех найденных серий корней.

Ответ: Выполнить обратную замену $t = \tan(x)$ и для каждого действительного корня $t_k$ решить простейшее тригонометрическое уравнение $\tan(x) = t_k$. Записать в ответ все полученные серии решений.