Номер 1, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $\operatorname{tg}(s + t)$.

1. Для того чтобы выразить $\text{tg}(s + t)$ через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$, необходимо воспользоваться основной тригонометрической формулой для тангенса суммы. Выведем эту формулу, используя определение тангенса и формулы сложения для синуса и косинуса.
По определению, тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s+t)}{\cos(s+t)}$
Применим известные формулы синуса и косинуса суммы двух углов:
$\sin(s+t) = \sin s \cos t + \cos s \sin t$
$\cos(s+t) = \cos s \cos t - \sin s \sin t$
Теперь подставим эти выражения в формулу для тангенса суммы:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin s \cos t + \cos s \sin t}{\cos s \cos t - \sin s \sin t}$
Чтобы получить выражение, зависящее только от тангенсов переменных $s$ и $t$, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение $\cos s \cos t$. Данное преобразование корректно при условии, что $\cos s \neq 0$ и $\cos t \neq 0$.
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s \cos t + \cos s \sin t}{\cos s \cos t}}{\frac{\cos s \cos t - \sin s \sin t}{\cos s \cos t}}$
Разделим почленно числитель и знаменатель:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s \cos t}{\cos s \cos t} + \frac{\cos s \sin t}{\cos s \cos t}}{\frac{\cos s \cos t}{\cos s \cos t} - \frac{\sin s \sin t}{\cos s \cos t}}$
После сокращения дробей и замены отношения $\frac{\sin x}{\cos x}$ на $\text{tg} x$, мы получаем итоговую формулу:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s}{\cos s} + \frac{\sin t}{\cos t}}{1 - \frac{\sin s}{\cos s} \cdot \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\text{tg} s + \text{tg} t}{1 - \text{tg} s \text{tg} t}$
Таким образом, выражение $\text{tg}(s+t)$ выражено через тригонометрические функции (тангенсы) переменных $s$ и $t$.
Ответ: $\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg} s + \text{tg} t}{1 - \text{tg} s \text{tg} t}$.