Страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $\operatorname{tg}(s + t)$.

1. Для того чтобы выразить $\text{tg}(s + t)$ через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$, необходимо воспользоваться основной тригонометрической формулой для тангенса суммы. Выведем эту формулу, используя определение тангенса и формулы сложения для синуса и косинуса.
По определению, тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s+t)}{\cos(s+t)}$
Применим известные формулы синуса и косинуса суммы двух углов:
$\sin(s+t) = \sin s \cos t + \cos s \sin t$
$\cos(s+t) = \cos s \cos t - \sin s \sin t$
Теперь подставим эти выражения в формулу для тангенса суммы:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin s \cos t + \cos s \sin t}{\cos s \cos t - \sin s \sin t}$
Чтобы получить выражение, зависящее только от тангенсов переменных $s$ и $t$, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение $\cos s \cos t$. Данное преобразование корректно при условии, что $\cos s \neq 0$ и $\cos t \neq 0$.
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s \cos t + \cos s \sin t}{\cos s \cos t}}{\frac{\cos s \cos t - \sin s \sin t}{\cos s \cos t}}$
Разделим почленно числитель и знаменатель:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s \cos t}{\cos s \cos t} + \frac{\cos s \sin t}{\cos s \cos t}}{\frac{\cos s \cos t}{\cos s \cos t} - \frac{\sin s \sin t}{\cos s \cos t}}$
После сокращения дробей и замены отношения $\frac{\sin x}{\cos x}$ на $\text{tg} x$, мы получаем итоговую формулу:
$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin s}{\cos s} + \frac{\sin t}{\cos t}}{1 - \frac{\sin s}{\cos s} \cdot \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\text{tg} s + \text{tg} t}{1 - \text{tg} s \text{tg} t}$
Таким образом, выражение $\text{tg}(s+t)$ выражено через тригонометрические функции (тангенсы) переменных $s$ и $t$.
Ответ: $\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg} s + \text{tg} t}{1 - \text{tg} s \text{tg} t}$.

2. Выразите через тригонометрические функции переменных

$u$ и $v$ выражение $tg(u - v)$.

2. Для того чтобы выразить $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$, необходимо использовать формулу тангенса разности. Выведем эту формулу.

Начнем с основного тригонометрического определения тангенса:
$\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Применим это определение к нашему выражению, где $\alpha = u - v$:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u - v)}{\cos(u - v)}$

Теперь воспользуемся формулами синуса и косинуса разности двух углов:
$\sin(u - v) = \sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$
$\cos(u - v) = \cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)$

Подставим эти формулы в выражение для $\tg(u - v)$:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}$

Чтобы получить выражение, содержащее только тангенсы, разделим и числитель, и знаменатель дроби на произведение $\cos(u)\cos(v)$. Это преобразование корректно при условии, что $\cos(u) \neq 0$ и $\cos(v) \neq 0$.
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

Разделим каждый член в числителе и знаменателе отдельно:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} - \frac{\cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} + \frac{\sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

После сокращения одинаковых множителей получаем:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)}{\cos(u)} - \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}{1 + \frac{\sin(u)}{\cos(u)} \cdot \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}$

Используя определение $\tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, заменяем отношения на тангенсы и получаем конечную формулу:
$\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$

Таким образом, мы выразили $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции (в данном случае, тангенсы) переменных $u$ и $v$.

Ответ: $\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$.

3. Укажите область допустимых значений переменных в формуле $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной формулы определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. Это означает, что аргументы всех функций тангенса должны находиться в их области определения, и знаменатель дроби в правой части не должен обращаться в нуль.

1. Условия для существования $ \operatorname{tg} x $ и $ \operatorname{tg} y $
Функция тангенса $ \operatorname{tg} \alpha $ определена, если ее аргумент $ \alpha $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число. Это связано с тем, что $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, и знаменатель $ \cos \alpha $ не должен быть равен нулю.
Применительно к нашей формуле, это дает два условия:

• Для $ \operatorname{tg} x $: $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
• Для $ \operatorname{tg} y $: $ y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $

2. Условие для левой части и знаменателя правой части
В левой части формулы находится $ \operatorname{tg}(x+y) $. Для того чтобы это выражение имело смысл, его аргумент $ (x+y) $ не должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ x + y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Теперь рассмотрим знаменатель дроби в правой части: $ 1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y $. Он не должен быть равен нулю.
$ 1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \ne 0 $
$ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \ne 1 $
Используя определение тангенса, перепишем это неравенство:
$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} \ne 1 $
При уже установленных условиях $ \cos x \ne 0 $ и $ \cos y \ne 0 $, мы можем умножить обе части на $ \cos x \cos y $:
$ \sin x \sin y \ne \cos x \cos y $
$ \cos x \cos y - \sin x \sin y \ne 0 $
Выражение в левой части является формулой косинуса суммы:
$ \cos(x+y) \ne 0 $
Это условие эквивалентно условию $ x+y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое мы уже получили из левой части формулы. Таким образом, условие на знаменатель не добавляет новых ограничений.

Итак, для определения области допустимых значений необходимо объединить все найденные условия.

Ответ: Область допустимых значений переменных $x$ и $y$ для данной формулы задается системой из трех условий:
$ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ x + y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

4. Верна ли формула $tg (x + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg x + 1}{1 - tg x}$? Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Верна ли формула?

Да, данная формула верна. Она является частным случаем формулы тангенса суммы, которая выглядит следующим образом:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta}$

Для рассматриваемой формулы $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ мы имеем $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Мы знаем, что значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1, то есть $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставив эти значения в общую формулу тангенса суммы, получаем:
$\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } x + \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 - \text{tg } x \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\text{tg } x + 1}{1 - \text{tg } x \cdot 1} = \frac{1 + \text{tg } x}{1 - \text{tg } x}$

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемой формулы.

Ответ: Да, формула верна.

При каких значениях переменной она справедлива?

Тождество справедливо, когда обе его части имеют смысл, то есть определены. Для этого необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. Ограничения для левой части: $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Функция тангенса не определена, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$).
Значит, $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Выразим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Ограничения для правой части: $\frac{\text{tg }x + 1}{1 - \text{tg }x}$.
Здесь должны выполняться два условия:
а) Тангенс $\text{tg }x$ должен быть определен. Это значит, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \text{tg }x \neq 0$. Это означает, что $\text{tg }x \neq 1$. Тангенс равен 1 при $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Значит, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m$.

Чтобы формула была справедлива, необходимо выполнение всех перечисленных условий. Объединим их:

• $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
• $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Формула справедлива при всех значениях $x$, для которых $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

39.19. Постройте график какой-нибудь функции $y = g(x)$, обладающей заданным свойством:

а) $\lim_{x \to -1} g(x) = 2;$

б) $\lim_{x \to 2} g(x) = -3;$

в) $\lim_{x \to -7} g(x) = -4;$

г) $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5.$

а) Условие $\lim_{x \to -1} g(x) = 2$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу -1, значения функции $g(x)$ стремятся к числу 2. Для построения графика можно выбрать простейшую функцию, удовлетворяющую этому свойству.

Рассмотрим постоянную функцию $g(x) = 2$. Для любого значения $x$ эта функция равна 2. Следовательно, её предел при $x$, стремящемся к -1, также равен 2: $\lim_{x \to -1} 2 = 2$.

Графиком функции $y = 2$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Примером такой функции является $g(x) = 2$. Её график — это горизонтальная прямая линия $y=2$.

б) Условие $\lim_{x \to 2} g(x) = -3$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу 2, значения функции $g(x)$ стремятся к числу -3.

В качестве простейшего примера выберем постоянную функцию $g(x) = -3$. Для любого значения $x$ эта функция равна -3. Её предел при $x$, стремящемся к 2, также равен -3: $\lim_{x \to 2} (-3) = -3$.

Графиком функции $y = -3$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -3)$ на оси ординат.

Ответ: Примером такой функции является $g(x) = -3$. Её график — это горизонтальная прямая линия $y=-3$.

в) Условие $\lim_{x \to -7} g(x) = -4$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу -7, значения функции $g(x)$ стремятся к числу -4.

Рассмотрим постоянную функцию $g(x) = -4$. Для любого значения $x$ эта функция равна -4. Её предел при $x$, стремящемся к -7, также равен -4: $\lim_{x \to -7} (-4) = -4$.

Графиком функции $y = -4$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -4)$ на оси ординат.

Ответ: Примером такой функции является $g(x) = -4$. Её график — это горизонтальная прямая линия $y=-4$.

г) Условие $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу 5, значения функции $g(x)$ стремятся к числу 3,5.

Рассмотрим постоянную функцию $g(x) = 3,5$. Для любого значения $x$ эта функция равна 3,5. Её предел при $x$, стремящемся к 5, также равен 3,5: $\lim_{x \to 5} 3,5 = 3,5$.

Графиком функции $y = 3,5$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 3,5)$ на оси ординат.

Ответ: Примером такой функции является $g(x) = 3,5$. Её график — это горизонтальная прямая линия $y=3,5$.

39.20. Постройте график какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей заданными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3;$

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0;$

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4, f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5.$

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$

Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ означает, что при приближении значения $x$ к 2, значение функции $f(x)$ стремится к 3.

Условие $f(2) = 3$ означает, что значение функции в точке $x = 2$ равно 3.

Поскольку предел функции в точке равен значению функции в этой точке, это является определением непрерывности функции в точке $x=2$. Таким образом, график функции проходит через точку $(2, 3)$ без разрывов, скачков или проколов.

Самым простым примером такой функции является постоянная функция.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3$. Её график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$ параллельно оси абсцисс.

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

Условие $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ означает, что при приближении $x$ к -6 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к 4. График функции подходит к точке $(-6, 4)$. При этом значение самой функции в точке $x=-6$ не определено условием, но для простоты мы можем построить функцию, непрерывную в этой точке.

Условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что при $x$, стремящемся к минус бесконечности, значения функции стремятся к нулю. Это значит, что прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Примером функции, удовлетворяющей этим свойствам, может служить дробно-рациональная функция, например, $f(x) = \frac{A}{(x-a)^2+b} + c$. Построив такую функцию с пиком в точке $(-6, 4)$ и асимптотой $y=0$, получим $a=-6$, $c=0$. Для того чтобы в точке $x=-6$ значение было 4, нужно чтобы $\frac{A}{b}=4$. Возьмем $b=1$, тогда $A=4$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{4}{(x+6)^2 + 1}$. Ее график — это кривая, похожая на колокол, с вершиной в точке $(-6, 4)$, которая приближается к оси $Ox$ ($y=0$) при $x \to -\infty$.

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$, $f(-1)$ не существует

Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ означает, что при стремлении $x$ к -1, значения функции $f(x)$ стремятся к 4.

Условие "$f(-1)$ не существует" означает, что функция не определена в точке $x = -1$.

Такая ситуация называется устранимым разрывом. На графике это изображается в виде "выколотой" точки. То есть, график функции подходит к точке $(-1, 4)$, но сама эта точка на графике отсутствует.

Чтобы построить такую функцию, можно взять любую функцию, для которой предел в точке -1 равен 4 (например, $g(x)=4$), и искусственно исключить точку $x=-1$ из её области определения.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{4(x+1)}{x+1}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq -1$, а в точке $x=-1$ не определена. Её график — это горизонтальная прямая $y=4$ с выколотой точкой $(-1, 4)$.

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$

Условие $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ означает, что при приближении $x$ к 3, значения функции $f(x)$ стремятся к -1. График функции подходит к точке $(3, -1)$.

Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, значения функции стремятся к -5. Это значит, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to \infty$.

Можно построить дробно-рациональную функцию вида $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$. Чтобы асимптота при $x \to \infty$ была $y=-5$, нужно, чтобы $\frac{a}{c}=-5$. Возьмем $a=-5, c=1$. Получим $f(x) = \frac{-5x+b}{x+d}$. Теперь подставим условие для предела в точке 3: $\lim_{x \to 3} \frac{-5x+b}{x+d} = \frac{-15+b}{3+d} = -1$. Отсюда $-15+b = -3-d$, или $b+d = 12$. Мы можем выбрать любые подходящие $b$ и $d$, например, $d=1$, тогда $b=11$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$. График этой функции проходит через точку $(3, -1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$ при $x \to \infty$.

39.21. На рис. 80 изображён график функции $y = f(x)$. Найдите:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$;

б) $\lim_{x \to 0} f(x)$;

в) $\lim_{x \to 3} f(x)$;

г) $\lim_{x \to \infty} f(x)$.

Рис. 80

а) Чтобы найти предел $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, нужно проанализировать поведение графика функции, когда значение аргумента $x$ стремится к минус бесконечности (т.е. уходит далеко влево по оси $Ox$). На представленном графике видно, что при уменьшении $x$ кривая $y=f(x)$ приближается к оси абсцисс, то есть к прямой $y=0$. Таким образом, значение функции стремится к 0.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

б) Чтобы найти предел $\lim_{x \to 0} f(x)$, нужно определить, к какому значению стремится функция $f(x)$, когда $x$ приближается к 0. На графике видно, что при $x=0$ функция проходит через точку с ординатой 4. Как при приближении к $x=0$ слева, так и при приближении справа, значения функции на графике стремятся к 4. Функция в этой точке непрерывна.

Ответ: $\lim_{x \to 0} f(x) = 4$.

в) Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} f(x)$, нужно рассмотреть поведение функции в окрестности точки $x=3$. Предел функции в точке — это значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к этой точке. На графике в точке $x=3$ имеется разрыв: значение функции в этой точке равно $f(3)=4$ (обозначено сплошной точкой), однако при приближении $x$ к 3 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к 9 (что показано "выколотой", или пустой, точкой на графике в $(3, 9)$). Так как левосторонний и правосторонний пределы совпадают и равны 9, то и предел функции в этой точке равен 9.

Ответ: $\lim_{x \to 3} f(x) = 9$.

г) Чтобы найти предел $\lim_{x \to \infty} f(x)$, нужно проанализировать поведение графика функции, когда значение аргумента $x$ стремится к плюс бесконечности (т.е. уходит далеко вправо по оси $Ox$). Из графика видно, что при увеличении $x$ кривая $y=f(x)$ асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=4$ (показана пунктиром). Это означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$.

39.22. Постройте график функции $y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

a) $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$; $f(2) = 5$; $\lim_{x \to -3} f(x) = -1$; $f(-3) = 1$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

функция возрастает на $(-\infty; 2];$

б) $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$; $f(-1) = 2$; $\lim_{x \to 0} f(x) = -2$; $f(0) = -2$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$;

$E(f) = (-3; 5].$

а)

Для построения графика функции $y=f(x)$ проанализируем заданные свойства:

• $\lim_{x\to 2} f(x) = 5$ и $f(2) = 5$. Эти условия означают, что функция непрерывна в точке $x=2$, и ее график проходит через точку $(2, 5)$.
• $\lim_{x\to -3} f(x) = -1$ и $f(-3) = 1$. Поскольку предел функции в точке $x=-3$ не равен значению функции в этой точке, здесь мы имеем устранимый разрыв. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка (отверстие) в $(-3, -1)$ и "закрашенная" точка в $(-3, 1)$.
• $\lim_{x\to\infty} f(x) = -2$. Это означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.
• Функция возрастает на $(-\infty; 2]$. Согласно определению, функция возрастает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.
  Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва $x=-3$. Возьмем $x_1 = -3$ и $x_2$ такое, что $-3 < x_2 < 2$. У нас есть $f(-3)=1$. Из условия $\lim_{x\to -3} f(x) = -1$ следует, что для $x_2$, достаточно близкого к $-3$, значение $f(x_2)$ будет близко к $-1$. Таким образом, мы получаем $f(-3) > f(x_2)$ (так как $1 > -1$), что противоречит условию возрастания.
  Вероятно, в условии имеется в виду, что функция возрастает на каждом из интервалов непрерывности, то есть на $(-\infty, -3)$ и $(-3, 2]$. Будем строить график, исходя из этого предположения.

Соберем все вместе для построения эскиза графика:

1. При $x \to -\infty$ функция должна начинаться от какого-то значения, чтобы затем возрастать. Предположим, что при $x \to -\infty$ у функции есть горизонтальная асимптота, например, $y = -4$.
2. На интервале $(-\infty, -3)$ функция возрастает от асимптоты $y=-4$ до значения, близкого к $-1$. На графике рисуем восходящую кривую, заканчивающуюся выколотой точкой в $(-3, -1)$.
3. В точке $x=-3$ отмечаем закрашенную точку $(-3, 1)$.
4. На интервале $(-3, 2]$ функция снова возрастает. Она начинается от значений, близких к $-1$ (справа от выколотой точки) и возрастает до точки $(2, 5)$.
5. При $x>2$ функция должна стремиться к горизонтальной асимптоте $y=-2$. Для этого она будет убывать от точки $(2, 5)$, приближаясь к прямой $y=-2$.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен на рисунке выше.

б)

Проанализируем свойства для построения графика функции $y=f(x)$:

• $\lim_{x\to -1} f(x) = -3$ и $f(-1) = 2$. Это указывает на устранимый разрыв в точке $x=-1$. График будет иметь выколотую точку в $(-1, -3)$ и закрашенную точку в $(-1, 2)$.
• $\lim_{x\to 0} f(x) = -2$ и $f(0) = -2$. Это означает, что функция непрерывна в $x=0$ и проходит через точку $(0, -2)$.
• $\lim_{x\to\infty} f(x) = 3$. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
• $E(f) = (-3; 5]$. Область значений функции — это полуинтервал $(-3, 5]$. Это означает, что $f(x) \le 5$ для всех $x$, и это максимальное значение достигается в некоторой точке. Также $f(x) > -3$ для всех $x$, то есть значение $-3$ является точной нижней гранью, но никогда не достигается.

Так как условия не определяют функцию однозначно, мы можем сделать некоторые предположения для построения одного из возможных графиков.

1. Условие $\lim_{x\to -1} f(x) = -3$ согласуется с областью значений, так как функция стремится к своей нижней границе, не достигая ее.
2. Функция должна достигать своего максимума $y=5$. Пусть это происходит в точке $x=2$, то есть $f(2)=5$.
3. Поведение функции при $x \to -\infty$ не задано. Предположим, что и здесь есть горизонтальная асимптота, значение которой должно лежать в области значений $(-3, 5]$. Пусть это будет $y=1$, то есть $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1$.

Эскиз графика будет выглядеть так:

• На интервале $(-\infty, -1)$ график функции идет от асимптоты $y=1$, убывая и приближаясь к выколотой точке $(-1, -3)$.
• В точке $x=-1$ есть закрашенная точка $(-1, 2)$.
• На интервале $(-1, \infty)$ график "начинается" от выколотой точки $(-1, -3)$, проходит через точку $(0, -2)$, достигает своего максимума в точке $(2, 5)$, а затем убывает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=3$.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен на рисунке выше.