Страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Замените данное выражение выражением T(t), где T – обозначение соответствующей тригонометрической функции:

$cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$, $sin(\pi - t)$, $ctg\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$, $tg(2\pi - t)$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения, которые позволяют упростить тригонометрические выражения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов:
1. Определение знака итоговой функции: предполагая, что угол $t$ находится в первой четверти ($0 < t < \frac{\pi}{2}$), определяем, в какой четверти находится исходный угол (например, $\frac{\pi}{2} - t$). Знак итогового выражения будет таким же, как знак исходной функции в этой четверти.
2. Определение названия итоговой функции: если в исходной формуле угол имеет вид $\pi \pm t$ или $2\pi \pm t$, то название функции не меняется. Если угол имеет вид $\frac{\pi}{2} \pm t$ или $\frac{3\pi}{2} \pm t$, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

$\cos(\frac{\pi}{2} - t)$
1. Знак: Угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ находится в I четверти. Косинус в I четверти положителен. Следовательно, итоговая функция будет со знаком «+».
2. Функция: В выражении присутствует $\frac{\pi}{2}$, поэтому функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
В результате получаем: $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$.
Ответ: $\sin(t)$

$\sin(\pi - t)$
1. Знак: Угол $(\pi - t)$ находится во II четверти. Синус во II четверти положителен. Следовательно, итоговая функция будет со знаком «+».
2. Функция: В выражении присутствует $\pi$, поэтому функция $\sin$ не меняется.
В результате получаем: $\sin(\pi - t) = \sin(t)$.
Ответ: $\sin(t)$

$\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} - t)$
1. Знак: Угол $(\frac{3\pi}{2} - t)$ находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен. Следовательно, итоговая функция будет со знаком «+».
2. Функция: В выражении присутствует $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция $\operatorname{ctg}$ меняется на кофункцию $\operatorname{tg}$.
В результате получаем: $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} - t) = \operatorname{tg}(t)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(t)$

$\operatorname{tg}(2\pi - t)$
1. Знак: Угол $(2\pi - t)$ находится в IV четверти. Тангенс в IV четверти отрицателен. Следовательно, итоговая функция будет со знаком «-».
2. Функция: В выражении присутствует $2\pi$, поэтому функция $\operatorname{tg}$ не меняется.
В результате получаем: $\operatorname{tg}(2\pi - t) = -\operatorname{tg}(t)$.
Ответ: $-\operatorname{tg}(t)$

40.5. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Определите значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображён:

а) на рис. 83;

б) на рис. 84;

в) на рис. 85;

г) на рис. 86.

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

Рис. 86

Основной принцип, который используется для решения этой задачи, — это геометрический смысл производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угол наклона $\alpha$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а) на рис. 83;

На рисунке 83 изображена касательная к графику функции в точке $x_1$. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, равен $60^\circ$. Следовательно, производная в этой точке равна:
$f'(x_1) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Касательная в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси Ox угол $45^\circ$. Следовательно, производная в этой точке равна:
$f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Ответ: $f'(x_1) = \sqrt{3}$, $f'(x_2) = 1$.

б) на рис. 84;

На рисунке 84 касательная к графику функции в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси Ox угол $30^\circ$. Значит, производная в этой точке:
$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка $x_2$ является точкой локального максимума функции. В точках экстремума (максимума или минимума) касательная к графику функции всегда горизонтальна, то есть ее угол наклона к оси Ox равен $0^\circ$. Поэтому производная в этой точке равна нулю:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.

в) на рис. 85;

На рисунке 85 точка $x_1$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому ее угол наклона составляет $0^\circ$. Производная в этой точке равна нулю:
$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Касательная в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси Ox угол $150^\circ$. Производная в этой точке равна:
$f'(x_2) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на рис. 86.

На рисунке 86 точка $x_1$ является точкой локального максимума. В этой точке касательная к графику горизонтальна, ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, производная равна нулю:
$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Точка $x_2$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке также горизонтальна, и ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, производная также равна нулю:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = 0$.

40.6. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Сравните значения производной в указанных точках:

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;

б) $f'(-4)$ и $f'(2)$;

в) $f'(-9)$ и $f'(0)$;

г) $f'(-1)$ и $f'(5).

Рис. 87

Для сравнения значений производной в указанных точках воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

• Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и производная положительна ($f'(x) > 0$).
• Если функция убывает, касательная направлена вниз, и производная отрицательна ($f'(x) < 0$).
• Чем круче идет вверх график (чем "острее" угол наклона касательной к оси Ox), тем больше значение производной.
• Чем круче идет вниз график, тем меньше (более отрицательно) значение производной.

а) Сравним $f'(-7)$ и $f'(-2)$.
В обеих точках, $x = -7$ и $x = -2$, функция $f(x)$ убывает. Это означает, что касательные к графику в этих точках имеют отрицательный угловой коэффициент, то есть $f'(-7) < 0$ и $f'(-2) < 0$.
Из графика видно, что в точке $x = -7$ функция убывает значительно круче, чем в точке $x = -2$, которая находится близко к точке локального минимума (где $x \approx -3$). Чем круче убывает функция, тем ее производная имеет меньшее (более отрицательное) значение.
Следовательно, $f'(-7) < f'(-2)$.
Ответ: $f'(-7) < f'(-2)$.

б) Сравним $f'(-4)$ и $f'(2)$.
В точке $x = -4$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(-4) < 0$.
В точке $x = 2$ функция возрастает, поэтому ее производная положительна: $f'(2) > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $f'(-4) < f'(2)$.
Ответ: $f'(-4) < f'(2)$.

в) Сравним $f'(-9)$ и $f'(0)$.
В точке $x = -9$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(-9) < 0$.
В точке $x = 0$ функция возрастает, поэтому ее производная положительна: $f'(0) > 0$.
Так как отрицательное число всегда меньше положительного, то $f'(-9) < f'(0)$.
Ответ: $f'(-9) < f'(0)$.

г) Сравним $f'(-1)$ и $f'(5)$.
В точке $x = -1$ функция возрастает, следовательно, ее производная положительна: $f'(-1) > 0$.
В точке $x = 5$ функция убывает, следовательно, ее производная отрицательна: $f'(5) < 0$.
Так как положительное число всегда больше отрицательного, то $f'(-1) > f'(5)$.
Ответ: $f'(-1) > f'(5)$.