Номер 40.6, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.6. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Сравните значения производной в указанных точках:

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;

б) $f'(-4)$ и $f'(2)$;

в) $f'(-9)$ и $f'(0)$;

г) $f'(-1)$ и $f'(5).

Рис. 87

Для сравнения значений производной в указанных точках воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

• Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и производная положительна ($f'(x) > 0$).
• Если функция убывает, касательная направлена вниз, и производная отрицательна ($f'(x) < 0$).
• Чем круче идет вверх график (чем "острее" угол наклона касательной к оси Ox), тем больше значение производной.
• Чем круче идет вниз график, тем меньше (более отрицательно) значение производной.

а) Сравним $f'(-7)$ и $f'(-2)$.
В обеих точках, $x = -7$ и $x = -2$, функция $f(x)$ убывает. Это означает, что касательные к графику в этих точках имеют отрицательный угловой коэффициент, то есть $f'(-7) < 0$ и $f'(-2) < 0$.
Из графика видно, что в точке $x = -7$ функция убывает значительно круче, чем в точке $x = -2$, которая находится близко к точке локального минимума (где $x \approx -3$). Чем круче убывает функция, тем ее производная имеет меньшее (более отрицательное) значение.
Следовательно, $f'(-7) < f'(-2)$.
Ответ: $f'(-7) < f'(-2)$.

б) Сравним $f'(-4)$ и $f'(2)$.
В точке $x = -4$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(-4) < 0$.
В точке $x = 2$ функция возрастает, поэтому ее производная положительна: $f'(2) > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $f'(-4) < f'(2)$.
Ответ: $f'(-4) < f'(2)$.

в) Сравним $f'(-9)$ и $f'(0)$.
В точке $x = -9$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(-9) < 0$.
В точке $x = 0$ функция возрастает, поэтому ее производная положительна: $f'(0) > 0$.
Так как отрицательное число всегда меньше положительного, то $f'(-9) < f'(0)$.
Ответ: $f'(-9) < f'(0)$.

г) Сравним $f'(-1)$ и $f'(5)$.
В точке $x = -1$ функция возрастает, следовательно, ее производная положительна: $f'(-1) > 0$.
В точке $x = 5$ функция убывает, следовательно, ее производная отрицательна: $f'(5) < 0$.
Так как положительное число всегда больше отрицательного, то $f'(-1) > f'(5)$.
Ответ: $f'(-1) > f'(5)$.