Номер 40.1, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.1. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t + 1$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 2$ с до момента:

а) $t_2 = 3$ с;

б) $t_2 = 2,5$ с;

в) $t_2 = 2,1$ с;

г) $t_2 = 2,05$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 2$ с.

Средняя скорость движения $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию, закон движения точки задан формулой $s(t) = 2t + 1$, а начальный момент времени $t_1 = 2$ с. Найдем положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ м.

а) $t_2 = 3$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 3$ с: $s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 3 с:

$v_{ср} = \frac{s(3) - s(2)}{3 - 2} = \frac{7 - 5}{1} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

б) $t_2 = 2,5$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,5$ с: $s(2,5) = 2 \cdot 2,5 + 1 = 6$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,5 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,5) - s(2)}{2,5 - 2} = \frac{6 - 5}{0,5} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

в) $t_2 = 2,1$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,1$ с: $s(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 5,2$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,1 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,1) - s(2)}{2,1 - 2} = \frac{5,2 - 5}{0,1} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

г) $t_2 = 2,05$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,05$ с: $s(2,05) = 2 \cdot 2,05 + 1 = 5,1$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,05 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,05) - s(2)}{2,05 - 2} = \frac{5,1 - 5}{0,05} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

Теперь вычислим мгновенную скорость точки в момент $t = 2$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Физический смысл производной функции перемещения по времени — это мгновенная скорость.

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1)$

Производная от $2t$ равна 2, а производная от константы 1 равна 0. Таким образом:

$v(t) = 2$

Поскольку мгновенная скорость является постоянной величиной (константой), ее значение в любой момент времени, включая $t = 2$ с, равно 2 м/с. Это также можно было предвидеть, так как средняя скорость на любом интервале для данного линейного закона движения также постоянна и равна 2 м/с.

Ответ: 2 м/с.