Номер 40.5, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.5. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Определите значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображён:

а) на рис. 83;

б) на рис. 84;

в) на рис. 85;

г) на рис. 86.

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

Рис. 86

Основной принцип, который используется для решения этой задачи, — это геометрический смысл производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угол наклона $\alpha$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а) на рис. 83;

На рисунке 83 изображена касательная к графику функции в точке $x_1$. Угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, равен $60^\circ$. Следовательно, производная в этой точке равна:
$f'(x_1) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Касательная в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси Ox угол $45^\circ$. Следовательно, производная в этой точке равна:
$f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Ответ: $f'(x_1) = \sqrt{3}$, $f'(x_2) = 1$.

б) на рис. 84;

На рисунке 84 касательная к графику функции в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси Ox угол $30^\circ$. Значит, производная в этой точке:
$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка $x_2$ является точкой локального максимума функции. В точках экстремума (максимума или минимума) касательная к графику функции всегда горизонтальна, то есть ее угол наклона к оси Ox равен $0^\circ$. Поэтому производная в этой точке равна нулю:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.

в) на рис. 85;

На рисунке 85 точка $x_1$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому ее угол наклона составляет $0^\circ$. Производная в этой точке равна нулю:
$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Касательная в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси Ox угол $150^\circ$. Производная в этой точке равна:
$f'(x_2) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на рис. 86.

На рисунке 86 точка $x_1$ является точкой локального максимума. В этой точке касательная к графику горизонтальна, ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, производная равна нулю:
$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Точка $x_2$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке также горизонтальна, и ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, производная также равна нулю:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = 0$.