Номер 40.7, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.7. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Укажите два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) > 0;$

б) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) > 0;$

в) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) < 0;$

г) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) < 0.$

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график функции $y = f(x)$ (рис. 87), чтобы определить интервалы ее возрастания и убывания.

Геометрический смысл производной заключается в том, что знак производной в точке характеризует поведение функции:

• Если производная $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале возрастает (график идет вверх при движении слева направо).
• Если производная $f'(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале убывает (график идет вниз).
• В точках локальных максимумов и минимумов (точках экстремума) производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

Изучив график функции (рис. 87), определим ее промежутки монотонности:

• Функция $f(x)$ возрастает, а значит $f'(x) > 0$, на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-1; 2)$ и $(5; +\infty)$.
• Функция $f(x)$ убывает, а значит $f'(x) < 0$, на интервалах $(-5; -1)$ и $(2; 5)$.

Основываясь на этом, подберем значения $x_1$ и $x_2$ для каждого случая. Важно отметить, что существует бесконечно много подходящих пар точек, мы приведем по одному возможному примеру для каждого задания.

а) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) > 0$

Требуется найти два значения аргумента, в которых производная положительна, то есть функция возрастает. Выберем два значения из любых интервалов возрастания. Например, возьмем $x_1$ из интервала $(-\infty; -5)$ и $x_2$ из интервала $(-1; 2)$.Пусть $x_1 = -7$. В этой точке функция возрастает, следовательно, $f'(-7) > 0$.Пусть $x_2 = 1$. В этой точке функция также возрастает, следовательно, $f'(1) > 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

б) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) > 0$

Требуется найти одно значение аргумента, где производная отрицательна (функция убывает), и другое, где производная положительна (функция возрастает).Выберем $x_1$ из интервала убывания, например, из $(-5; -1)$. Пусть $x_1 = -4$. Тогда $f'(-4) < 0$.Выберем $x_2$ из интервала возрастания, например, из $(5; +\infty)$. Пусть $x_2 = 6$. Тогда $f'(6) > 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = 6$.

в) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) < 0$

Требуется найти два значения аргумента, в которых производная отрицательна, то есть функция убывает. Выберем по одному значению из двух разных интервалов убывания.Возьмем $x_1$ из интервала $(-5; -1)$. Пусть $x_1 = -3$. Тогда $f'(-3) < 0$.Возьмем $x_2$ из интервала $(2; 5)$. Пусть $x_2 = 4$. Тогда $f'(4) < 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

г) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) < 0$

Требуется найти одно значение аргумента, где производная положительна (функция возрастает), и другое, где производная отрицательна (функция убывает).Выберем $x_1$ из интервала возрастания, например, из $(-1; 2)$. Пусть $x_1 = 0$. Тогда $f'(0) > 0$.Выберем $x_2$ из интервала убывания, например, из $(2; 5)$. Пусть $x_2 = 3$. Тогда $f'(3) < 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.