Страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.7. Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Укажите два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) > 0;$

б) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) > 0;$

в) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) < 0;$

г) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) < 0.$

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график функции $y = f(x)$ (рис. 87), чтобы определить интервалы ее возрастания и убывания.

Геометрический смысл производной заключается в том, что знак производной в точке характеризует поведение функции:

• Если производная $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале возрастает (график идет вверх при движении слева направо).
• Если производная $f'(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ на этом интервале убывает (график идет вниз).
• В точках локальных максимумов и минимумов (точках экстремума) производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

Изучив график функции (рис. 87), определим ее промежутки монотонности:

• Функция $f(x)$ возрастает, а значит $f'(x) > 0$, на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-1; 2)$ и $(5; +\infty)$.
• Функция $f(x)$ убывает, а значит $f'(x) < 0$, на интервалах $(-5; -1)$ и $(2; 5)$.

Основываясь на этом, подберем значения $x_1$ и $x_2$ для каждого случая. Важно отметить, что существует бесконечно много подходящих пар точек, мы приведем по одному возможному примеру для каждого задания.

а) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) > 0$

Требуется найти два значения аргумента, в которых производная положительна, то есть функция возрастает. Выберем два значения из любых интервалов возрастания. Например, возьмем $x_1$ из интервала $(-\infty; -5)$ и $x_2$ из интервала $(-1; 2)$.Пусть $x_1 = -7$. В этой точке функция возрастает, следовательно, $f'(-7) > 0$.Пусть $x_2 = 1$. В этой точке функция также возрастает, следовательно, $f'(1) > 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

б) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) > 0$

Требуется найти одно значение аргумента, где производная отрицательна (функция убывает), и другое, где производная положительна (функция возрастает).Выберем $x_1$ из интервала убывания, например, из $(-5; -1)$. Пусть $x_1 = -4$. Тогда $f'(-4) < 0$.Выберем $x_2$ из интервала возрастания, например, из $(5; +\infty)$. Пусть $x_2 = 6$. Тогда $f'(6) > 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = 6$.

в) $f'(x_1) < 0, f'(x_2) < 0$

Требуется найти два значения аргумента, в которых производная отрицательна, то есть функция убывает. Выберем по одному значению из двух разных интервалов убывания.Возьмем $x_1$ из интервала $(-5; -1)$. Пусть $x_1 = -3$. Тогда $f'(-3) < 0$.Возьмем $x_2$ из интервала $(2; 5)$. Пусть $x_2 = 4$. Тогда $f'(4) < 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

г) $f'(x_1) > 0, f'(x_2) < 0$

Требуется найти одно значение аргумента, где производная положительна (функция возрастает), и другое, где производная отрицательна (функция убывает).Выберем $x_1$ из интервала возрастания, например, из $(-1; 2)$. Пусть $x_1 = 0$. Тогда $f'(0) > 0$.Выберем $x_2$ из интервала убывания, например, из $(2; 5)$. Пусть $x_2 = 3$. Тогда $f'(3) < 0$.Оба условия выполнены.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

40.8. Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 88). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$.

Рис. 88

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Знак производной функции $?'(x)$ в точке указывает на характер монотонности (возрастание или убывание) функции $?(x)$ в этой точке.

• Если производная положительна ($?'(x) > 0$), то функция возрастает (график идет вверх).
• Если производная отрицательна ($?'(x) < 0$), то функция убывает (график идет вниз).

Анализируя график, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции $y = ?(x)$:

• Функция возрастает на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$.
• Функция убывает на интервалах (левее -8), $(-4, 1)$ и (правее 3).

На основе этого найдем значения аргумента для каждого случая.

а) $?'(x) > 0$

Условие $?'(x) > 0$ выполняется на тех участках, где функция $?(x)$ возрастает. Согласно графику, это происходит на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$. Мы можем выбрать любые значения $x$ из этих интервалов.
Например: $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.
Ответ: $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.

б) $?'(x) < 0$ и $x > 0$

Здесь требуется выполнение двух условий одновременно: функция должна убывать ($?'(x) < 0$), и аргумент должен быть положительным ($x > 0$). Функция убывает на интервалах $(-4, 1)$ и $(3, +\infty)$. Из этих интервалов мы должны выбрать те части, где $x > 0$. Это промежутки $(0, 1)$ и $(3, +\infty)$.
Например: $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.
Ответ: $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.

в) $?'(x) < 0$

Условие $?'(x) < 0$ выполняется на тех участках, где функция $?(x)$ убывает. Согласно графику, это происходит на интервалах до $x=-8$, от $x=-4$ до $x=1$ и при $x > 3$. Мы можем выбрать любые значения $x$ из этих интервалов.
Например: $x = -9$, $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$.
Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$.

г) $?'(x) > 0$ и $x < 0$

Здесь требуется, чтобы функция возрастала ($?'(x) > 0$) и аргумент был отрицательным ($x < 0$). Функция возрастает на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только первый интервал: $(-8, -4)$.
Например: $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.
Ответ: $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке x:

40.9. a) $y = x^2 + 2x$;

б) $y = \frac{1}{x}$;

в) $y = 3x^2 - 4x$;

г) $y = \frac{4}{x}$.

Для нахождения производной функции воспользуемся ее определением. Производная функции $f(x)$ в точке $x$ — это предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

а) Для функции $y = x^2 + 2x$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x)) - (x^2 + 2x)$
$\Delta y = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x) - x^2 - 2x$
$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 2)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 2$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 2) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2$
Ответ: $y' = 2x + 2$.

б) Для функции $y = \frac{1}{x}$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta y = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{1}{x(x + 0)} = -\frac{1}{x^2}$
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

в) Для функции $y = 3x^2 - 4x$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x)^2 - 4(x + \Delta x)) - (3x^2 - 4x)$
$\Delta y = (3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 4x - 4\Delta x) - 3x^2 + 4x$
$\Delta y = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4x - 4\Delta x - 3x^2 + 4x$
$\Delta y = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x (6x + 3\Delta x - 4)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x - 4$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x - 4) = 6x + 3 \cdot 0 - 4 = 6x - 4$
Ответ: $y' = 6x - 4$.

г) Для функции $y = \frac{4}{x}$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{4}{x + \Delta x} - \frac{4}{x}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta y = \frac{4x - 4(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{4x - 4x - 4\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{4}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{4}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{4}{x(x + 0)} = -\frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = -\frac{4}{x^2}$.

40.10. а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \frac{1}{x^2}$;

В) $y = \sqrt{x+1}$;

Г) $y = x^3$.

а) $y = \sqrt{x}$

Для нахождения производной данной функции, представим квадратный корень в виде степени:

$y = x^{\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. В нашем случае $n = \frac{1}{2}$.

$y' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Преобразуем выражение, избавившись от отрицательной степени:

$y' = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) $y = \frac{1}{x^2}$

Представим функцию в виде степени с отрицательным показателем:

$y = x^{-2}$

Используем ту же формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = -2$.

$y' = (x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$

Перепишем результат в виде дроби:

$y' = -\frac{2}{x^3}$

Ответ: $y' = -\frac{2}{x^3}$

в) $y = \sqrt{x} + 1$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

$y' = (\sqrt{x} + 1)' = (\sqrt{x})' + (1)'$

Производная первого слагаемого была найдена в пункте а): $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная второго слагаемого, которое является константой (числом), равна нулю: $(1)' = 0$.

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

г) $y = x^3$

Для нахождения производной применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = 3$.

$y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

Ответ: $y' = 3x^2$

40.11. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а) $y = \begin{cases} 3x, \text{ если } x \ge 0, \\ -2x + 3, \text{ если } x < 0; \end{cases} x_0 = 0.$

б) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \ge 0, \\ -2x^2, \text{ если } x < 0; \end{cases} x_0 = 0.$

в) $y = \begin{cases} -4x + 2, \text{ если } x \ge 3, \\ 2x - 4, \text{ если } x < 3; \end{cases} x_0 = 3.$

г) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ 2x - 1, \text{ если } x > 1; \end{cases} x_0 = 1.$

а)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и точка $x_0 = 0$.

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ по определению равна:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для существования производной в точке $x_0$ необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 0$.

Значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 3 \cdot 0 = 0$.

Найдем односторонние пределы:
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x) = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + 3) = -2(0) + 3 = 3$.

Поскольку правосторонний и левосторонний пределы не равны ($\lim_{x \to 0^+} f(x) \ne \lim_{x \to 0^-} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода в точке $x_0 = 0$ и не является непрерывной.

Так как функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$, производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная не существует.

б)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и точка $x_0 = 0$.

Сначала проверим функцию на непрерывность в точке $x_0 = 0$.
Значение функции в точке: $f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x^2) = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x^2) = 0$.
Так как $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$, функция непрерывна в точке $x_0 = 0$.

Теперь найдем левую и правую производные в точке $x_0 = 0$ по определению.

Правая производная:
$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x}$.
Для $\Delta x > 0$, $f(\Delta x) = 2(\Delta x)^2$.
$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} (2\Delta x) = 0$.

Левая производная:
$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x}$.
Для $\Delta x < 0$, $f(\Delta x) = -2(\Delta x)^2$.
$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-2\Delta x) = 0$.

Поскольку правая и левая производные существуют и равны ($f'_+(0) = f'_-(0) = 0$), производная в точке $x_0 = 0$ существует и равна их общему значению.

Ответ: $f'(0) = 0$.

в)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x \ge 3 \\ 2x - 4, & \text{если } x < 3 \end{cases}$ и точка $x_0 = 3$.

Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 3$.
Значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = -4 \cdot 3 + 2 = -12 + 2 = -10$.

Найдем односторонние пределы:
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-4x + 2) = -4(3) + 2 = -10$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - 4) = 2(3) - 4 = 2$.

Поскольку $\lim_{x \to 3^+} f(x) \ne \lim_{x \to 3^-} f(x)$, функция имеет разрыв первого рода в точке $x_0 = 3$ и не является непрерывной.

Так как функция не является непрерывной в точке $x_0 = 3$, производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная не существует.

г)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 1$.
$f(1) = 1^2 = 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = 1^2 = 1$.
Так как $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Найдем левую и правую производные в точке $x_0 = 1$.

Правая производная:
$f'_+(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$.
Для $\Delta x > 0$, имеем $1 + \Delta x > 1$, поэтому $f(1 + \Delta x) = 2(1 + \Delta x) - 1 = 2 + 2\Delta x - 1 = 1 + 2\Delta x$.
$f'_+(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(1 + 2\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$.

Левая производная:
$f'_-(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$.
Для $\Delta x < 0$, имеем $1 + \Delta x < 1$, поэтому $f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2$.
$f'_-(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (2 + \Delta x) = 2$.

Поскольку правая и левая производные существуют и равны ($f'_+(1) = f'_-(1) = 2$), производная в точке $x_0 = 1$ существует.

Ответ: $f'(1) = 2$.