Страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.31. Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента:

a) $y = \frac{1}{x^5} - 1,5x;$

б) $y = -\sqrt{x} + 14;$

в) $y = 1,4 \cos x - 3x;$

г) $y = \frac{12}{x^7} + 29.$

а) Для функции $y = \frac{1}{x^5} - 1,5x$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при всех значениях $x$, для которых знаменатель $x^5$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область допустимых значений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = x^{-5} - 1,5x$ и применим правила дифференцирования:

$y' = (x^{-5} - 1,5x)' = (x^{-5})' - (1,5x)' = -5x^{-6} - 1,5$.

Запишем производную в виде дроби: $y' = -\frac{5}{x^6} - 1,5$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x \neq 0$) выражение $x^6$ всегда положительно, так как это четная степень ненулевого числа ($x^6 > 0$). Следовательно, дробь $\frac{5}{x^6}$ также положительна. Тогда первое слагаемое $-\frac{5}{x^6}$ отрицательно. Производная $y'$ является суммой двух отрицательных чисел, $-\frac{5}{x^6}$ и $-1,5$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

б) Для функции $y = -\sqrt{x} + 14$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при $x \ge 0$. Производная функции, $(-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$, определена при строгом неравенстве $x > 0$. Следовательно, допустимые значения аргумента для производной — это $x \in (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (-\sqrt{x} + 14)' = -(\sqrt{x})' + (14)' = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x > 0$) корень $\sqrt{x}$ всегда положителен. Следовательно, знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен. Тогда дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна. Производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ имеет знак минус перед положительной дробью, значит, она всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

в) Для функции $y = 1,4 \cos x - 3x$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функции $\cos x$ и $x$ определены для всех действительных чисел, поэтому область определения — $x \in \mathbb{R}$.

2. Найдем производную функции, используя правила дифференцирования тригонометрических функций и линейной функции:

$y' = (1,4 \cos x - 3x)' = 1,4(\cos x)' - (3x)' = 1,4(-\sin x) - 3 = -1,4 \sin x - 3$.

3. Определим знак производной. Область значений функции синус ограничена: $-1 \le \sin x \le 1$. Оценим значение выражения $-1,4 \sin x$. Умножая двойное неравенство на $-1,4$ (знаки неравенства меняются на противоположные), получаем:

$-1,4 \cdot 1 \le -1,4 \sin x \le -1,4 \cdot (-1)$

$-1,4 \le -1,4 \sin x \le 1,4$.

Теперь оценим значение всей производной, вычитая 3 из каждой части неравенства:

$-1,4 - 3 \le -1,4 \sin x - 3 \le 1,4 - 3$

$-4,4 \le y' \le -1,6$.

Так как производная $y'$ находится в интервале от $-4,4$ до $-1,6$, ее значения всегда отрицательны. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

г) Для функции $y = \frac{12}{x^7} + 29$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при всех значениях $x$, для которых знаменатель $x^7$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область допустимых значений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = 12x^{-7} + 29$ и применим правила дифференцирования:

$y' = (12x^{-7} + 29)' = 12(x^{-7})' + (29)' = 12(-7x^{-8}) + 0 = -84x^{-8}$.

Запишем производную в виде дроби: $y' = -\frac{84}{x^8}$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x \neq 0$) выражение $x^8$ всегда положительно, так как это четная степень ненулевого числа ($x^8 > 0$). Следовательно, дробь $\frac{84}{x^8}$ положительна. Производная $y' = -\frac{84}{x^8}$ имеет знак минус перед положительной дробью, значит, она всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

41.32. a) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^3 - 3x$ принимает положительные значения;

б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x^4$ принимает отрицательные значения;

в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = \sqrt{x} + x$ принимает неотрицательные значения;

г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = 7 \cos x + 12$ принимает неположительные значения.

а)

Чтобы найти значения аргумента, при которых производная функции $y = x^3 - 3x$ принимает положительные значения, сначала найдем саму производную.

Используя правила дифференцирования, получаем:
$y' = (x^3 - 3x)' = (x^3)' - (3x)' = 3x^2 - 3$.

Теперь нам нужно решить неравенство $y' > 0$ относительно $x$:
$3x^2 - 3 > 0$
Делим обе части на 3:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 1)(x + 1) > 0$

Это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x = -1$ и $x = 1$. График функции $f(x) = x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б)

Найдем производную функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x^4$.

$y' = (x^5 - \frac{5}{4}x^4)' = (x^5)' - (\frac{5}{4}x^4)' = 5x^4 - \frac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^4 - 5x^3$.

По условию, производная должна принимать отрицательные значения, то есть $y' < 0$.
Решим неравенство:
$5x^4 - 5x^3 < 0$
Вынесем общий множитель $5x^3$ за скобки:
$5x^3(x - 1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули выражения в левой части: $x = 0$ и $x = 1$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $5 \cdot 2^3(2-1) = 40 > 0$.
- На интервале $(0; 1)$ (например, при $x=0.5$): $5 \cdot (0.5)^3(0.5-1) = 5 \cdot 0.125 \cdot (-0.5) < 0$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ (например, при $x=-1$): $5 \cdot (-1)^3(-1-1) = 5 \cdot (-1) \cdot (-2) = 10 > 0$.
Неравенство выполняется на интервале $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в)

Найдем производную функции $y = \sqrt{x} + x$.
Сначала определим область определения функции: из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Найдем производную, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
$y' = (\sqrt{x} + x)' = (x^{1/2} + x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.
Область определения производной: $x > 0$, так как $\sqrt{x}$ находится в знаменателе.

По условию, производная должна принимать неотрицательные значения, то есть $y' \ge 0$.
Решим неравенство с учетом области определения производной ($x>0$):
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \ge 0$

Для любого $x > 0$ выражение $\sqrt{x}$ является положительным числом. Следовательно, дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда положительна. Сумма положительного числа $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и числа 1 всегда будет положительна. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из области определения производной.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г)

Найдем производную функции $y = 7\cos x + 12$.

$y' = (7\cos x + 12)' = (7\cos x)' + (12)' = -7\sin x + 0 = -7\sin x$.

По условию, производная должна принимать неположительные значения, то есть $y' \le 0$.
Решим неравенство:
$-7\sin x \le 0$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\sin x \ge 0$

Решением этого тригонометрического неравенства являются такие значения $x$, при которых синус неотрицателен. На единичной окружности это соответствует углам в I и II координатных четвертях, включая границы. Это интервал от $0$ до $\pi$ и все интервалы, полученные добавлением целого числа периодов $2\pi$.

Таким образом, решение можно записать в виде двойного неравенства: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Найдите скорость изменения функции в точке $x_0$:

41.33. a) $y = x^2, x_0 = -0,1;$

б) $y = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

в) $y = \sqrt{x}, x_0 = 9;$

г) $y = \cos x, x_0 = \pi.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке. Чтобы найти скорость изменения функции, нужно найти ее производную и вычислить значение этой производной в точке $x_0$.

а) Дана функция $y = x^2$ и точка $x_0 = -0,1$.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^2)' = 2x$

2. Подставляем значение $x_0 = -0,1$ в выражение для производной:

$y'(-0,1) = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$

Ответ: -0,2.

б) Дана функция $y = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -2$.

1. Находим производную функции, используя правило для степенной функции $y=x^n$, где $n = -1$:

$y' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

2. Подставляем значение $x_0 = -2$ в выражение для производной:

$y'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.

1. Находим производную функции, используя правило для степенной функции $y=x^n$, где $n = \frac{1}{2}$:

$y' = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Подставляем значение $x_0 = 9$ в выражение для производной:

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

г) Дана функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = \pi$.

1. Находим производную тригонометрической функции:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

2. Подставляем значение $x_0 = \pi$ в выражение для производной:

$y'(\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0$

Ответ: 0.

41.34. a) $y = x^3 + 2x, x_0 = 2;$

В) $y = \frac{1}{x} \left(\frac{4}{x} - 2\right), x_0 = -0,5;$

б) $y = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}, x_0 = 1;$

Г) $y = 2 \sin x - 4x, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = x^3 + 2x$ и точка $x_0 = 2$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции. Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
$y' = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)' = 3x^{3-1} + 2x^{1-1} = 3x^2 + 2$.
Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в найденное выражение для производной:
$y'(2) = 3(2)^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14.

б) Дана функция $y = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для удобства сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки:
$y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$.
Представим функцию в виде $y = x + x^{1/2}$ и найдем ее производную:
$y' = (x + x^{1/2})' = (x)' + (x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

в) Дана функция $y = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2)$ и точка $x_0 = -0,5$.
Сначала упростим выражение для функции:
$y = \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{x} - \frac{1}{x} \cdot 2 = \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x}$.
Представим функцию в виде $y = 4x^{-2} - 2x^{-1}$ и найдем ее производную:
$y' = (4x^{-2} - 2x^{-1})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -8x^{-3} + 2x^{-2} = -\frac{8}{x^3} + \frac{2}{x^2}$.
Подставим значение $x_0 = -0,5$ (или $-\frac{1}{2}$) в выражение для производной:
$y'(-0,5) = -\frac{8}{(-0,5)^3} + \frac{2}{(-0,5)^2} = -\frac{8}{-0,125} + \frac{2}{0,25}$.
$y'(-0,5) = \frac{8}{1/8} + \frac{2}{1/4} = 8 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72$.
Ответ: 72.

г) Дана функция $y = 2\sin x - 4x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции. Используем правила: $(\sin x)' = \cos x$ и $(cx)' = c$.
$y' = (2\sin x - 4x)' = 2(\sin x)' - (4x)' = 2\cos x - 4$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$y'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4}) - 4$.
Мы знаем, что значение косинуса в этой точке $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим его в выражение:
$y'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 = \sqrt{2} - 4$.
Ответ: $\sqrt{2} - 4$.

41.35. Существует ли производная заданной функции в точке $x_0$? Если да, то вычислите её:

a) $y = |x - 2|(x - 2)$, $x_0 = 2$;

б) $y = (x + 2)|x + 2|$, $x_0 = -2$.

а) $y = |x - 2|(x - 2), x_0 = 2$

Для того чтобы определить, существует ли производная функции в точке, нужно проверить, существуют ли и равны ли друг другу односторонние производные (слева и справа) в этой точке. Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ существует тогда и только тогда, когда существуют и равны конечные пределы $f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)$.

Воспользуемся определением производной: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

В данном случае, $f(x) = |x - 2|(x - 2)$ и $x_0 = 2$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = |2 - 2|(2 - 2) = 0 \cdot 0 = 0$.

Теперь рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{|(2 + \Delta x) - 2|((2 + \Delta x) - 2) - 0}{\Delta x} = \frac{|\Delta x| \cdot \Delta x}{\Delta x}$.

Найдем правостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$, и, следовательно, $|\Delta x| = \Delta x$):

$f'_{+}(2) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \Delta x = 0$.

Найдем левостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$, и, следовательно, $|\Delta x| = -\Delta x$):

$f'_{-}(2) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(-\Delta x) \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 2$ существуют и равны друг другу ($f'_{-}(2) = f'_{+}(2) = 0$), то производная функции в этой точке существует.

Ответ: Да, существует, $y'(2) = 0$.

б) $y = (x + 2)|x + 2|, x_0 = -2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Проверим существование и равенство односторонних производных в точке $x_0 = -2$.

В данном случае, $f(x) = (x + 2)|x + 2|$ и $x_0 = -2$.

Значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2 + 2)|-2 + 2| = 0 \cdot 0 = 0$.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{f(-2 + \Delta x) - f(-2)}{\Delta x} = \frac{((-2 + \Delta x) + 2)|(-2 + \Delta x) + 2| - 0}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot |\Delta x|}{\Delta x}$.

Найдем правостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$, и $|\Delta x| = \Delta x$):

$f'_{+}(-2) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \Delta x = 0$.

Найдем левостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$, и $|\Delta x| = -\Delta x$):

$f'_{-}(-2) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta x \cdot (-\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$.

Левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = -2$ существуют и равны ($f'_{-}(-2) = f'_{+}(-2) = 0$). Следовательно, производная функции в этой точке существует.

Ответ: Да, существует, $y'(-2) = 0$.

41.36. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных:

a) $y = x^2 - 5|x| + 6, x_0 = 2, x_1 = 3, x_2 = 0;$

б) $y = |x^2 - 5|x| + 6|, x_0 = -2, x_1 = 0, x_2 = 2,5.$

а) $y = x^2 - 5|x| + 6$, $x_0 = 2, x_1 = 3, x_2 = 0$

Для нахождения производной заданной функции необходимо сначала раскрыть модуль $|x|$. Функция с модулем является кусочно-заданной.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x + 6$.
Производная на этом интервале ($x > 0$): $y' = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(-x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Производная на этом интервале ($x < 0$): $y' = (x^2 + 5x + 6)' = 2x + 5$.

Теперь вычислим значения производных в указанных точках.

• В точке $x_0 = 2$:

  Поскольку $2 > 0$, мы используем формулу для $x > 0$: $y'(x) = 2x - 5$.

  $y'(2) = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

  Производная существует.

• В точке $x_1 = 3$:

  Поскольку $3 > 0$, мы также используем формулу для $x > 0$: $y'(x) = 2x - 5$.

  $y'(3) = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.

  Производная существует.

• В точке $x_2 = 0$:

  Точка $x=0$ является точкой "стыка" двух определений функции. Для существования производной в этой точке необходимо, чтобы левосторонняя и правосторонняя производные были равны.

  Правосторонняя производная (при $x \to 0^+$):
  $y'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 5) = 2(0) - 5 = -5$.

  Левосторонняя производная (при $x \to 0^-$):
  $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 5) = 2(0) + 5 = 5$.

  Так как $y'_+(0) \neq y'_{-}(0)$ ($-5 \neq 5$), производная в точке $x = 0$ не существует.

Ответ: $y'(2) = -1$; $y'(3) = 1$; в точке $x=0$ производная не существует.

б) $y = |x^2 - 5|x| + 6|$, $x_0 = -2, x_1 = 0, x_2 = 2,5$

Пусть внутренняя функция $g(x) = x^2 - 5|x| + 6$. Тогда $y(x) = |g(x)|$.

Производная функции $y(x)=|g(x)|$ не существует в точках, где производная $g'(x)$ не существует, а также в точках, где $g(x)=0$ (при условии, что $g'(x) \ne 0$), так как в этих точках график функции имеет излом.

1. Из пункта а) мы знаем, что производная $g'(x)$ не существует в точке $x=0$. Следовательно, в этой точке производная $y'(x)$ также может не существовать.

2. Найдем нули функции $g(x)$, то есть решим уравнение $g(x)=0$.
При $x \ge 0$: $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0$. Корни $x=2, x=3$.
При $x < 0$: $x^2 + 5x + 6 = 0 \implies (x+2)(x+3)=0$. Корни $x=-2, x=-3$.
Нули функции: $x = -3, -2, 2, 3$. Это потенциальные точки отсутствия производной для $y(x)$.

Для нахождения производной в конкретных точках, раскроем оба модуля, определив знаки подмодульных выражений. Производные для различных интервалов, полученные из анализа знаков $g(x)$ и раскрытия внешнего модуля, следующие:

$y'(x) = \begin{cases} 2x+5, & \text{если } x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 0) \\ -2x-5, & \text{если } x \in (-3, -2) \\ 2x-5, & \text{если } x \in (0, 2) \cup (3, \infty) \\ -2x+5, & \text{если } x \in (2, 3) \end{cases}$

Теперь вычислим значения производных в указанных точках.

• В точке $x_0 = -2$:

  Это точка нуля функции $g(x)$. Проверим односторонние производные для $y(x)$.

  Левосторонняя производная (при $x \to -2^-$): $y'(x)=-2x-5$.
  $y'_{-}(-2) = -2(-2) - 5 = 4 - 5 = -1$.

  Правосторонняя производная (при $x \to -2^+$): $y'(x)=2x+5$.
  $y'_+(-2) = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

  Так как $y'_{-}(-2) \neq y'_+(-2)$, производная в точке $x = -2$ не существует.

• В точке $x_1 = 0$:

  Это точка, где $g'(x)$ не существует. Проверим односторонние производные для $y(x)$.

  Левосторонняя производная (при $x \to 0^-$): $y'(x)=2x+5$.
  $y'_{-}(0) = 2(0) + 5 = 5$.

  Правосторонняя производная (при $x \to 0^+$): $y'(x)=2x-5$.
  $y'_+(0) = 2(0) - 5 = -5$.

  Так как $y'_{-}(0) \neq y'_+(0)$, производная в точке $x = 0$ не существует.

• В точке $x_2 = 2,5$:

  Точка $x=2,5$ находится в интервале $(2, 3)$. На этом интервале $g(x) < 0$, поэтому $y(x) = -g(x) = -(x^2-5x+6)$.

  Производная на этом интервале: $y'(x) = -2x+5$.

  $y'(2,5) = -2(2,5) + 5 = -5 + 5 = 0$.

  Производная существует.

Ответ: в точках $x=-2$ и $x=0$ производная не существует; $y'(2,5) = 0$.

41.37. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = x^2, x_0 = -4;$

б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -\frac{1}{3};$

в) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = \frac{1}{2};$

г) $f(x) = x^2, x_0 = 2.$

а) Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = -4$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -4$:
$k = f'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$.
Ответ: -8

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -\frac{1}{3}$.
Найдем производную функции. Для этого представим функцию в виде $f(x) = x^{-1}$.
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{3}$:
$k = f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{9}} = -9$.
Ответ: -9

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
Производная данной функции, как было найдено в предыдущем пункте, равна $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:
$k = f'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$.
Ответ: -4

г) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 2$.
Производная данной функции, как было найдено в пункте а), равна $f'(x) = 2x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$k = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4