Страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.15. a) $y = \left(\frac{1}{x} + 1\right)(2x - 3);$

Б) $y = \left(7 - \frac{1}{x}\right)(6x + 1);$

В) $y = \left(\frac{1}{x} + 8\right)(5x - 2);$

Г) $y = \left(9 - \frac{1}{x}\right)(3x + 2).$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки. Для этого умножим каждый член из первой скобки на каждый член из второй скобки: $y = \left(\frac{1}{x} + 1\right)(2x - 3) = \frac{1}{x} \cdot 2x + \frac{1}{x} \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3)$. Теперь выполним умножение в каждом слагаемом: $y = \frac{2x}{x} - \frac{3}{x} + 2x - 3$. Поскольку в знаменателе есть $x$, область определения функции $x \neq 0$. Учитывая это, мы можем сократить дробь $\frac{2x}{x}$: $y = 2 - \frac{3}{x} + 2x - 3$. Осталось привести подобные слагаемые (в данном случае, константы $2$ и $-3$): $y = 2x - \frac{3}{x} + (2 - 3) = 2x - \frac{3}{x} - 1$. Ответ: $y = 2x - \frac{3}{x} - 1$.

б) Раскроем скобки в выражении $y = \left(7 - \frac{1}{x}\right)(6x + 1)$ по правилу умножения многочленов: $y = 7 \cdot 6x + 7 \cdot 1 - \frac{1}{x} \cdot 6x - \frac{1}{x} \cdot 1$. Упростим каждое слагаемое: $y = 42x + 7 - \frac{6x}{x} - \frac{1}{x}$. При условии, что $x \neq 0$, сокращаем дробь $\frac{6x}{x}$: $y = 42x + 7 - 6 - \frac{1}{x}$. Приведем подобные слагаемые, сложив константы $7$ и $-6$: $y = 42x - \frac{1}{x} + (7 - 6) = 42x - \frac{1}{x} + 1$. Ответ: $y = 42x - \frac{1}{x} + 1$.

в) Раскроем скобки в выражении $y = \left(\frac{1}{x} + 8\right)(5x - 2)$: $y = \frac{1}{x} \cdot 5x + \frac{1}{x} \cdot (-2) + 8 \cdot 5x + 8 \cdot (-2)$. Выполним умножение: $y = \frac{5x}{x} - \frac{2}{x} + 40x - 16$. Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь $\frac{5x}{x}$ до $5$: $y = 5 - \frac{2}{x} + 40x - 16$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые (константы $5$ и $-16$): $y = 40x - \frac{2}{x} + (5 - 16) = 40x - \frac{2}{x} - 11$. Ответ: $y = 40x - \frac{2}{x} - 11$.

г) Раскроем скобки в выражении $y = \left(9 - \frac{1}{x}\right)(3x + 2)$: $y = 9 \cdot 3x + 9 \cdot 2 - \frac{1}{x} \cdot 3x - \frac{1}{x} \cdot 2$. Упростим полученные слагаемые: $y = 27x + 18 - \frac{3x}{x} - \frac{2}{x}$. При $x \neq 0$, сократим дробь $\frac{3x}{x}$ до $3$: $y = 27x + 18 - 3 - \frac{2}{x}$. Приведем подобные слагаемые, сложив константы $18$ и $-3$: $y = 27x - \frac{2}{x} + (18 - 3) = 27x - \frac{2}{x} + 15$. Ответ: $y = 27x - \frac{2}{x} + 15$.

41.16. a) $y = x^3 \cdot \operatorname{tg} x$;

б) $y = \cos x \cdot \operatorname{ctg} x$;

В) $y = \frac{1}{x} \cdot \operatorname{ctg} x$;

Г) $y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$.

а) Рассмотрим функцию $y = x^3 \cdot \tg x$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
В нашем случае $u(x) = x^3$ и $v(x) = \tg x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Теперь подставим всё в формулу производной произведения:
$y' = (x^3)' \cdot \tg x + x^3 \cdot (\tg x)' = 3x^2 \cdot \tg x + x^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3x^2 \tg x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = 3x^2 \tg x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$.

б) Дана функция $y = \cos x \cdot \ctg x$. Воспользуемся правилом нахождения производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \ctg x$.
Производные сомножителей равны:
$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$v'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставим в формулу:
$y' = (\cos x)' \cdot \ctg x + \cos x \cdot (\ctg x)' = (-\sin x) \cdot \ctg x + \cos x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$.
Упростим выражение, подставив $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$y' = (-\sin x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{x} \cdot \ctg x$. Эта функция является произведением $u(x) = \frac{1}{x}$ и $v(x) = \ctg x$. Применим правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдём производные:
$u'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
$v'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем в формулу и вычисляем:
$y' = \left(\frac{1}{x}\right)' \cdot \ctg x + \frac{1}{x} \cdot (\ctg x)' = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \ctg x + \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{\ctg x}{x^2} - \frac{1}{x \sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{\ctg x}{x^2} - \frac{1}{x \sin^2 x}$.

г) Для функции $y = \sin x \cdot \tg x$ применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \tg x$.
Находим производные сомножителей:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставляем в формулу:
$y' = (\sin x)' \cdot \tg x + \sin x \cdot (\tg x)' = \cos x \cdot \tg x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Далее упростим, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y' = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

41.17. a) $y = (x - 1)(x^2 + x + 1);$

б) $y = (x^2 + 2x + 4)(x - 2);$

В) $y = (x + 1)(x^2 - x + 1);$

Г) $y = (x^2 - 3x + 9)(x + 3).$

а) $y = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Данное выражение представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно разность кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае, $a = x$ и $b = 1$. Проверим соответствие второму множителю: $a^2 + ab + b^2 = x^2 + x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + x + 1$. Соответствие полное.

Следовательно, выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$y = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Ответ: $y = x^3 - 1$.

б) $y = (x^2 + 2x + 4)(x - 2)$

Для удобства восприятия поменяем множители местами: $y = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Это также формула разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Здесь $a = x$ и $b = 2$. Проверим второй множитель: $a^2 + ab + b^2 = x^2 + x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 2x + 4$. Формула применима.

Применяя формулу, получаем:

$y = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Ответ: $y = x^3 - 8$.

в) $y = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном случае $a = x$ и $b = 1$. Проверим второй множитель: $a^2 - ab + b^2 = x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1$. Соответствие полное.

Таким образом, сворачиваем выражение по формуле суммы кубов:

$y = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Ответ: $y = x^3 + 1$.

г) $y = (x^2 - 3x + 9)(x + 3)$

Поменяем множители местами для наглядности: $y = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Это формула суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Здесь $a = x$ и $b = 3$. Проверим соответствие второго множителя: $a^2 - ab + b^2 = x^2 - x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 3x + 9$. Формула применима.

Применяя формулу, получаем:

$y = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Ответ: $y = x^3 + 27$.

41.18. а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$;

В) $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$;

Г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3}{2x + 4}$. Эта функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль, так как на ноль делить нельзя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -2$. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение:
$x^2 - 1 = 0$
Используем формулу разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
$x = 1$ или $x = -1$.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$3 - 4x = 0$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x}{x^2 + 1}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Рассмотрим знаменатель: $x^2 + 1$.
Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$).
Это означает, что знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

41.19. a) $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$;

Б) $y = \frac{\sin x}{x}$;

В) $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 - 3x}$;

Г) $y = \frac{\cos x}{x}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = 3\sqrt{x}$ и $v(x) = 2x + 9$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (3\sqrt{x})' = (3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$. $v'(x) = (2x + 9)' = 2$. Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного: $y' = \frac{(\frac{3}{2\sqrt{x}})(2x + 9) - (3\sqrt{x})(2)}{(2x + 9)^2}$. Упростим выражение в числителе: $\frac{3(2x + 9)}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{6x + 27 - 6\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 27 - 12x}{2\sqrt{x}} = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной: $y' = \frac{\frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}}}{(2x + 9)^2} = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$. Ответ: $y' = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin x}{x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$. Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$. Ответ: $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 - 3x}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u(x) = -2\sqrt{x}$ и $v(x) = 8 - 3x$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (-2\sqrt{x})' = (-2x^{1/2})' = -2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$. $v'(x) = (8 - 3x)' = -3$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-\frac{1}{\sqrt{x}})(8 - 3x) - (-2\sqrt{x})(-3)}{(8 - 3x)^2}$. Упростим выражение в числителе: $\frac{-(8 - 3x)}{\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{-8 + 3x - 6\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{-8 + 3x - 6x}{\sqrt{x}} = \frac{-8 - 3x}{\sqrt{x}} = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной: $y' = \frac{-\frac{3x + 8}{\sqrt{x}}}{(8 - 3x)^2} = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}(8 - 3x)^2}$. Ответ: $y' = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}(8 - 3x)^2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\cos x}{x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = \cos x$ и $v(x) = x$. Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-\sin x)(x) - (\cos x)(1)}{x^2} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$. Ответ: $y' = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$.

41.20. а) $y = \frac{x^9 - 3}{x^3}$;

б) $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$;

В) $y = \frac{x^5 + x}{x^5 - 1}$;

Г) $y = \frac{x^{13}}{x^4 - 2}$.

а)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^9 - 3}{x^3}$ сначала упростим выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x^9}{x^3} - \frac{3}{x^3} = x^{9-3} - 3x^{-3} = x^6 - 3x^{-3}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.

$y' = (x^6 - 3x^{-3})' = (x^6)' - (3x^{-3})'$

$y' = 6x^{6-1} - 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = 6x^5 + 9x^{-4}$

Запишем результат с положительными показателями степени:

$y' = 6x^5 + \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = 6x^5 + \frac{9}{x^4}$

б)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^{15}$ и $v(x) = x^{10} + 1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u' = (x^{15})' = 15x^{14}$

$v' = (x^{10} + 1)' = 10x^9$

Подставим эти выражения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(15x^{14})(x^{10} + 1) - (x^{15})(10x^9)}{(x^{10} + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{15x^{24} + 15x^{14} - 10x^{24}}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{5x^{24} + 15x^{14}}{(x^{10} + 1)^2}$

Вынесем общий множитель $5x^{14}$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{5x^{14}(x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{5x^{14}(x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$

в)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^5 + x}{x^5 - 1}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^5 + x$ и $v(x) = x^5 - 1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^5 + x)' = 5x^4 + 1$

$v' = (x^5 - 1)' = 5x^4$

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{(5x^4 + 1)(x^5 - 1) - (x^5 + x)(5x^4)}{(x^5 - 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{(5x^9 - 5x^4 + x^5 - 1) - (5x^9 + 5x^5)}{(x^5 - 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{5x^9 + x^5 - 5x^4 - 1 - 5x^9 - 5x^5}{(x^5 - 1)^2} = \frac{-4x^5 - 5x^4 - 1}{(x^5 - 1)^2}$

Можно вынести минус за дробь для более аккуратного вида:

$y' = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 - 1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 - 1)^2}$

г)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^{13}}{x^4 - 2}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = x^{13}$ и $v(x) = x^4 - 2$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (x^{13})' = 13x^{12}$

$v' = (x^4 - 2)' = 4x^3$

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{(13x^{12})(x^4 - 2) - (x^{13})(4x^3)}{(x^4 - 2)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$y' = \frac{13x^{16} - 26x^{12} - 4x^{16}}{(x^4 - 2)^2} = \frac{9x^{16} - 26x^{12}}{(x^4 - 2)^2}$

Вынесем общий множитель $x^{12}$ в числителе за скобки для упрощения:

$y' = \frac{x^{12}(9x^4 - 26)}{(x^4 - 2)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^{12}(9x^4 - 26)}{(x^4 - 2)^2}$

41.21. a) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;

В) $y = \cos^2 3x + \sin^2 3x$;

Г) $y = -\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

а) Исходное выражение: $y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, двойной угол будет равен $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставляя наше значение $\alpha$ в формулу, получаем:
$y = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
Ответ: $y = \cos x$.

б) Исходное выражение: $y = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.
Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Применяя формулу, получаем:
$y = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$.
Ответ: $y = \sin x$.

в) Исходное выражение: $y = \cos^2 3x + \sin^2 3x$.
Это выражение является основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
В этом примере $\alpha = 3x$.
Независимо от значения аргумента, сумма квадратов синуса и косинуса этого аргумента всегда равна единице.
Следовательно, $y = 1$.
Ответ: $y = 1$.

г) Исходное выражение: $y = -\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем выражении $\alpha = \frac{x}{2}$.
Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставим это в наше уравнение:
$y = - \left( \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right) = - \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) \right) = -\frac{1}{2}\sin x$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}\sin x$.

41.22. а) $y = \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x;$

б) $y = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \sin \frac{2x}{3};$

в) $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x;$

г) $y = \cos \frac{x}{5} \cos \frac{4x}{5} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{4x}{5}.$

а)

Дано выражение: $y = \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

Подставив эти значения в формулу, получаем: $y = \sin(2x - x)$.

Выполнив вычитание в аргументе синуса, находим: $y = \sin x$.

Ответ: $y = \sin x$.

б)

Дано выражение: $y = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \sin \frac{2x}{3}$.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{x}{3}$ и $\beta = \frac{2x}{3}$.

Применяя формулу, получаем: $y = \sin(\frac{x}{3} + \frac{2x}{3})$.

Сложив дроби в аргументе синуса, находим: $y = \sin(\frac{x + 2x}{3}) = \sin(\frac{3x}{3}) = \sin x$.

Ответ: $y = \sin x$.

в)

Дано выражение: $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x$.

Для упрощения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Подставив значения в формулу, получаем: $y = \cos(3x - 2x)$.

Выполнив вычитание в аргументе косинуса, находим: $y = \cos x$.

Ответ: $y = \cos x$.

г)

Дано выражение: $y = \cos \frac{x}{5} \cos \frac{4x}{5} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{4x}{5}$.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{4x}{5}$.

Применяя формулу, получаем: $y = \cos(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5})$.

Сложив дроби в аргументе косинуса, находим: $y = \cos(\frac{x + 4x}{5}) = \cos(\frac{5x}{5}) = \cos x$.

Ответ: $y = \cos x$.

41.23. Найдите значение производной заданной функции в точке $x_0$:

а) $y = \sqrt{x}, x_0 = 4;$

б) $y = x^2, x_0 = -7;$

в) $y = -3x - 11, x_0 = -3;$

г) $y = \frac{1}{x}, x_0 = 0.5.$

а) Для того чтобы найти значение производной функции $y = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$, необходимо сначала найти ее производную.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{1/2}$.

Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, находим производную:

$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим значение $x_0 = 4$ в полученное выражение для производной:

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Дана функция $y = x^2$ и точка $x_0 = -7$.

Находим производную функции, используя формулу для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -7$:

$y'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$

Ответ: $-14$.

в) Дана функция $y = -3x - 11$ и точка $x_0 = -3$.

Находим производную этой линейной функции. Производная от $kx$ равна $k$, а производная константы равна нулю.

$y' = (-3x - 11)' = (-3x)' - (11)' = -3 - 0 = -3$

Производная является постоянной величиной, равной $-3$. Это означает, что ее значение не зависит от $x$.

Таким образом, значение производной в точке $x_0 = -3$ также равно $-3$.

Ответ: $-3$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = 0,5$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степенной: $y = x^{-1}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$y'(0,5) = -\frac{1}{(0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$

Ответ: $-4$.