Номер 41.21, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.21. a) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;

В) $y = \cos^2 3x + \sin^2 3x$;

Г) $y = -\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

а) Исходное выражение: $y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, двойной угол будет равен $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставляя наше значение $\alpha$ в формулу, получаем:
$y = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
Ответ: $y = \cos x$.

б) Исходное выражение: $y = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.
Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Применяя формулу, получаем:
$y = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$.
Ответ: $y = \sin x$.

в) Исходное выражение: $y = \cos^2 3x + \sin^2 3x$.
Это выражение является основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
В этом примере $\alpha = 3x$.
Независимо от значения аргумента, сумма квадратов синуса и косинуса этого аргумента всегда равна единице.
Следовательно, $y = 1$.
Ответ: $y = 1$.

г) Исходное выражение: $y = -\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем выражении $\alpha = \frac{x}{2}$.
Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставим это в наше уравнение:
$y = - \left( \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right) = - \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) \right) = -\frac{1}{2}\sin x$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}\sin x$.