Номер 41.14, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.14. a) $y = x \cdot \sin x;$

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x;$

В) $y = x \cdot \cos x;$

Г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x.$

а) Дана функция $y = x \cdot \sin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = x$ и $v = \sin x$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Ответ: $y' = \sin x + x \cos x$.

б) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \cos x$. Область определения исходной функции: $x \ge 0$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения. Производная будет определена для $x > 0$.

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

в) Дана функция $y = x \cdot \cos x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = x$ и $v = \cos x$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Ответ: $y' = \cos x - x \sin x$.

г) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае, пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sin x$. Область определения исходной функции: $x \ge 0$.

Найдём производные функций $u$ и $v$ по отдельности:

$u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим полученные выражения в формулу для производной произведения. Производная будет определена для $x > 0$.

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$.