Номер 41.9, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.9. a) $y = \cos x + 2x;$

б) $y = 3\sin x + \cos x;$

В) $y = \sin x - 3x;$

Г) $y = 2\cos x + \sin x.$

а) $y = \cos x + 2x$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Производная функции:

$y' = (\cos x + 2x)' = -\sin x + 2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\sin x + 2 = 0 \Rightarrow \sin x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как множество значений функции синус $[-1; 1]$.Следовательно, у функции нет критических точек, и ее производная сохраняет знак на всей области определения.Определим знак производной. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то для производной $y' = 2 - \sin x$ получаем:

$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 - (-1)$

$1 \le y' \le 3$

Так как $y' > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

б) $y = 3\sin x + \cos x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (3\sin x + \cos x)' = 3\cos x - \sin x$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3\cos x - \sin x = 0$.

Если предположить, что $\cos x \ne 0$, можно разделить уравнение на $\cos x$:

$3 - \tan x = 0 \Rightarrow \tan x = 3$.

Решения этого уравнения: $x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Заметим, что если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и $3(0) - (\pm 1) \ne 0$, так что наше предположение было верным).

Для определения характера экстремумов найдем вторую производную:

$y'' = (3\cos x - \sin x)' = -3\sin x - \cos x$.

Исследуем знак второй производной в критических точках. Если $\tan x = 3$, то $\sin x = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.

1. Для точек $x = \arctan 3 + 2\pi n$ (I четверть), $\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

$y'' = -3\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{-9-1}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10} < 0$. Значит, это точки максимума.

2. Для точек $x = \arctan 3 + (2n+1)\pi$ (III четверть), $\sin x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

$y'' = -3\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{9+1}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} > 0$. Значит, это точки минимума.

Функция возрастает на интервалах от минимума к максимуму и убывает от максимума к минимуму.

Ответ: точки максимума $x = \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \arctan 3 + (2n+1)\pi, n \in \mathbb{Z}$; интервалы возрастания $(\arctan 3 + (2n-1)\pi, \arctan 3 + 2n\pi), n \in \mathbb{Z}$; интервалы убывания $(\arctan 3 + 2n\pi, \arctan 3 + (2n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \sin x - 3x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (\sin x - 3x)' = \cos x - 3$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\cos x - 3 = 0 \Rightarrow \cos x = 3$.

Уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos x \le 1$.Поскольку критических точек нет, производная сохраняет свой знак на всей оси.Оценим знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то:

$-1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3$

$-4 \le y' \le -2$

Так как $y' < 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

г) $y = 2\cos x + \sin x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную:

$y' = (2\cos x + \sin x)' = -2\sin x + \cos x$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\cos x - 2\sin x = 0$.

Разделив на $\cos x \ne 0$ (что справедливо, так как $\cos x = 0$ не является решением), получим:

$1 - 2\tan x = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.

Критические точки: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для определения типа экстремумов найдем вторую производную:

$y'' = (\cos x - 2\sin x)' = -\sin x - 2\cos x$.

Исследуем знак $y''$ в критических точках. Если $\tan x = \frac{1}{2}$, то $\sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$.

1. Для точек $x = \arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi n$ (I четверть), $\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

$y'' = -\frac{1}{\sqrt{5}} - 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5} < 0$. Это точки максимума.

2. Для точек $x = \arctan(\frac{1}{2}) + (2n+1)\pi$ (III четверть), $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\cos x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$y'' = -\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) - 2\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{1+4}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} > 0$. Это точки минимума.

Ответ: точки максимума $x = \arctan\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \arctan\frac{1}{2} + (2n+1)\pi, n \in \mathbb{Z}$; интервалы возрастания $(\arctan\frac{1}{2} + (2n-1)\pi, \arctan\frac{1}{2} + 2n\pi), n \in \mathbb{Z}$; интервалы убывания $(\arctan\frac{1}{2} + 2n\pi, \arctan\frac{1}{2} + (2n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$.