Номер 41.11, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.11. a) $y = x^5 + 9x^{20} + 1;$

б) $y = x^7 - 4x^{16} - 3;$

В) $y = x^6 + 13x^{10} + 12;$

Г) $y = x^9 - 6x^{21} - 36.$

а) Дана функция $y = x^5 + 9x^{20} + 1$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся основными правилами дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$. Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная произведения константы на функцию равна произведению константы на производную функции: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

Применим эти правила для каждого слагаемого в выражении:

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная от $9x^{20}$: $(9x^{20})' = 9 \cdot (x^{20})' = 9 \cdot 20x^{20-1} = 180x^{19}$.

Производная от $1$: $(1)' = 0$.

Теперь сложим полученные производные:

$y' = (x^5 + 9x^{20} + 1)' = (x^5)' + (9x^{20})' + (1)' = 5x^4 + 180x^{19} + 0$.

Упрощая, получаем окончательный результат: $y' = 5x^4 + 180x^{19}$.

Ответ: $y' = 5x^4 + 180x^{19}$.

б) Дана функция $y = x^7 - 4x^{16} - 3$.

Используя те же правила дифференцирования, найдем производную для каждого члена функции.

Производная от $x^7$: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Производная от $-4x^{16}$: $(-4x^{16})' = -4 \cdot (x^{16})' = -4 \cdot 16x^{16-1} = -64x^{15}$.

Производная от $-3$: $(-3)' = 0$.

Сложим результаты, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = (x^7 - 4x^{16} - 3)' = 7x^6 - 64x^{15} - 0 = 7x^6 - 64x^{15}$.

Ответ: $y' = 7x^6 - 64x^{15}$.

в) Дана функция $y = x^6 + 13x^{10} + 12$.

Находим производную, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная от $x^6$: $(x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Производная от $13x^{10}$: $(13x^{10})' = 13 \cdot (x^{10})' = 13 \cdot 10x^{10-1} = 130x^9$.

Производная от $12$: $(12)' = 0$.

Суммируя производные, получаем:

$y' = (x^6 + 13x^{10} + 12)' = 6x^5 + 130x^9 + 0 = 6x^5 + 130x^9$.

Ответ: $y' = 6x^5 + 130x^9$.

г) Дана функция $y = x^9 - 6x^{21} - 36$.

Для нахождения производной применим правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции к каждому члену полинома.

Производная от $x^9$: $(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$.

Производная от $-6x^{21}$: $(-6x^{21})' = -6 \cdot (x^{21})' = -6 \cdot 21x^{21-1} = -126x^{20}$.

Производная от $-36$: $(-36)' = 0$.

Объединяя результаты, находим производную всей функции:

$y' = (x^9 - 6x^{21} - 36)' = 9x^8 - 126x^{20} - 0 = 9x^8 - 126x^{20}$.

Ответ: $y' = 9x^8 - 126x^{20}$.