Номер 41.13, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.13. а) $y = \sqrt{x}(2x - 4);$

б) $y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x};$

В) $y = \sqrt{x}(8x - 10);$

Г) $y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2).$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}(2x - 4)$ сначала упростим выражение. Для этого представим корень как степень $x^{1/2}$ и раскроем скобки.

$y = x^{1/2}(2x - 4) = 2x^{1/2} \cdot x^1 - 4x^{1/2} = 2x^{1/2+1} - 4x^{1/2} = 2x^{3/2} - 4x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций.

$y' = (2x^{3/2} - 4x^{1/2})' = 2 \cdot (x^{3/2})' - 4 \cdot (x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} - 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^{1/2} - 2x^{-1/2}$.

Преобразуем полученное выражение, вернувшись к обозначению корня, и приведем к общему знаменателю.

$y' = 3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}$.

б) Для функции $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$ также сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$y = (x^3 + 1)x^{1/2} = x^3 \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} = x^{3+1/2} + x^{1/2} = x^{7/2} + x^{1/2}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции и суммы функций.

$y' = (x^{7/2} + x^{1/2})' = \frac{7}{2}x^{7/2-1} + \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^{5/2 - (-1/2)} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^{6/2} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(7x^3 + 1)$.

Запишем итоговый результат в виде дроби.

$y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$.

в) Найдем производную функции $y = \sqrt{x}(8x - 10)$. Сначала упростим выражение.

$y = x^{1/2}(8x - 10) = 8x^{1+1/2} - 10x^{1/2} = 8x^{3/2} - 10x^{1/2}$.

Дифференцируем полученную функцию по правилам дифференцирования.

$y' = (8x^{3/2} - 10x^{1/2})' = 8 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 12x^{1/2} - 5x^{-1/2}$.

Преобразуем выражение и приведем к общему знаменателю.

$y' = 12\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{12\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{12x - 5}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{12x - 5}{\sqrt{x}}$.

г) Найдем производную функции $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$. Сначала упростим выражение.

$y = x^{1/2}(x^4 + 2) = x^{1/2} \cdot x^4 + 2x^{1/2} = x^{4+1/2} + 2x^{1/2} = x^{9/2} + 2x^{1/2}$.

Дифференцируем, используя правило для степенной функции и суммы.

$y' = (x^{9/2} + 2x^{1/2})' = \frac{9}{2}x^{9/2-1} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{9}{2}x^{7/2} + x^{-1/2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}x^{-1/2}$ за скобки для упрощения.

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^{7/2 - (-1/2)} + 2) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^{8/2} + 2) = \frac{1}{2}x^{-1/2}(9x^4 + 2)$.

Запишем итоговый ответ в виде дроби.

$y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$.