Номер 41.19, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.19. a) $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$;

Б) $y = \frac{\sin x}{x}$;

В) $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 - 3x}$;

Г) $y = \frac{\cos x}{x}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = 3\sqrt{x}$ и $v(x) = 2x + 9$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (3\sqrt{x})' = (3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$. $v'(x) = (2x + 9)' = 2$. Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного: $y' = \frac{(\frac{3}{2\sqrt{x}})(2x + 9) - (3\sqrt{x})(2)}{(2x + 9)^2}$. Упростим выражение в числителе: $\frac{3(2x + 9)}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{6x + 27 - 6\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 27 - 12x}{2\sqrt{x}} = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной: $y' = \frac{\frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}}}{(2x + 9)^2} = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$. Ответ: $y' = \frac{27 - 6x}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin x}{x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$. Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$. Ответ: $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 - 3x}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u(x) = -2\sqrt{x}$ и $v(x) = 8 - 3x$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (-2\sqrt{x})' = (-2x^{1/2})' = -2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$. $v'(x) = (8 - 3x)' = -3$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-\frac{1}{\sqrt{x}})(8 - 3x) - (-2\sqrt{x})(-3)}{(8 - 3x)^2}$. Упростим выражение в числителе: $\frac{-(8 - 3x)}{\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{-8 + 3x - 6\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{-8 + 3x - 6x}{\sqrt{x}} = \frac{-8 - 3x}{\sqrt{x}} = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной: $y' = \frac{-\frac{3x + 8}{\sqrt{x}}}{(8 - 3x)^2} = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}(8 - 3x)^2}$. Ответ: $y' = -\frac{3x + 8}{\sqrt{x}(8 - 3x)^2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\cos x}{x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = \cos x$ и $v(x) = x$. Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-\sin x)(x) - (\cos x)(1)}{x^2} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$. Ответ: $y' = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$.