Номер 41.12, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.12. a) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$;

б) $y = (x^2 + 3)(x^6 - 1)$;

В) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$;

Г) $y = (x^2 - 2)(x^7 + 4)$.

а) Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^4 + 2$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = 2x^5 + 4x + 4x^5 - 4x^3 = 6x^5 - 4x^3 + 4x$
Ответ: $y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x$.

б) Для функции $y = (x^2 + 3)(x^6 - 1)$ применим правило производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^6 - 1$.
Их производные:
$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
$v'(x) = (x^6 - 1)' = 6x^5$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^6 - 1) + (x^2 + 3)(6x^5)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x^7 - 2x + 6x^7 + 18x^5 = 8x^7 + 18x^5 - 2x$
Ответ: $y' = 8x^7 + 18x^5 - 2x$.

в) Для функции $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$ используем правило производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^4 - 1$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
$v'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = 2x^5 - 2x + 4x^5 + 12x^3 = 6x^5 + 12x^3 - 2x$
Ответ: $y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x$.

г) Для функции $y = (x^2 - 2)(x^7 + 4)$ воспользуемся правилом производной произведения.
Пусть $u(x) = x^2 - 2$ и $v(x) = x^7 + 4$.
Их производные:
$u'(x) = (x^2 - 2)' = 2x$
$v'(x) = (x^7 + 4)' = 7x^6$
Подставим в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = 2x(x^7 + 4) + (x^2 - 2)(7x^6)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x^8 + 8x + 7x^8 - 14x^6 = 9x^8 - 14x^6 + 8x$
Ответ: $y' = 9x^8 - 14x^6 + 8x$.