Номер 41.18, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.18. а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$;

В) $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$;

Г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3}{2x + 4}$. Эта функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль, так как на ноль делить нельзя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -2$. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение:
$x^2 - 1 = 0$
Используем формулу разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
$x = 1$ или $x = -1$.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$3 - 4x = 0$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x}{x^2 + 1}$. Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Рассмотрим знаменатель: $x^2 + 1$.
Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$).
Это означает, что знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.