Номер 41.20, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.20. а) $y = \frac{x^9 - 3}{x^3}$;

б) $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$;

В) $y = \frac{x^5 + x}{x^5 - 1}$;

Г) $y = \frac{x^{13}}{x^4 - 2}$.

а)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^9 - 3}{x^3}$ сначала упростим выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x^9}{x^3} - \frac{3}{x^3} = x^{9-3} - 3x^{-3} = x^6 - 3x^{-3}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.

$y' = (x^6 - 3x^{-3})' = (x^6)' - (3x^{-3})'$

$y' = 6x^{6-1} - 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = 6x^5 + 9x^{-4}$

Запишем результат с положительными показателями степени:

$y' = 6x^5 + \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = 6x^5 + \frac{9}{x^4}$

б)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^{15}$ и $v(x) = x^{10} + 1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u' = (x^{15})' = 15x^{14}$

$v' = (x^{10} + 1)' = 10x^9$

Подставим эти выражения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(15x^{14})(x^{10} + 1) - (x^{15})(10x^9)}{(x^{10} + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{15x^{24} + 15x^{14} - 10x^{24}}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{5x^{24} + 15x^{14}}{(x^{10} + 1)^2}$

Вынесем общий множитель $5x^{14}$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{5x^{14}(x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{5x^{14}(x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$

в)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^5 + x}{x^5 - 1}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^5 + x$ и $v(x) = x^5 - 1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^5 + x)' = 5x^4 + 1$

$v' = (x^5 - 1)' = 5x^4$

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{(5x^4 + 1)(x^5 - 1) - (x^5 + x)(5x^4)}{(x^5 - 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{(5x^9 - 5x^4 + x^5 - 1) - (5x^9 + 5x^5)}{(x^5 - 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{5x^9 + x^5 - 5x^4 - 1 - 5x^9 - 5x^5}{(x^5 - 1)^2} = \frac{-4x^5 - 5x^4 - 1}{(x^5 - 1)^2}$

Можно вынести минус за дробь для более аккуратного вида:

$y' = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 - 1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 - 1)^2}$

г)

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^{13}}{x^4 - 2}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = x^{13}$ и $v(x) = x^4 - 2$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (x^{13})' = 13x^{12}$

$v' = (x^4 - 2)' = 4x^3$

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{(13x^{12})(x^4 - 2) - (x^{13})(4x^3)}{(x^4 - 2)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$y' = \frac{13x^{16} - 26x^{12} - 4x^{16}}{(x^4 - 2)^2} = \frac{9x^{16} - 26x^{12}}{(x^4 - 2)^2}$

Вынесем общий множитель $x^{12}$ в числителе за скобки для упрощения:

$y' = \frac{x^{12}(9x^4 - 26)}{(x^4 - 2)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^{12}(9x^4 - 26)}{(x^4 - 2)^2}$