Номер 41.27, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.27. a) $y = 2 \sin x - 13 \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = -\cos x + \frac{1}{\pi}x^2, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = -\sin x - 3, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $y = 4 \cos x + x\sqrt{2}, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

а) Дана функция $y = 2 \sin x - 13 \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
Для решения задачи необходимо найти производную данной функции, а затем вычислить её значение в указанной точке $x_0$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (2 \sin x - 13 \cos x)' = 2(\sin x)' - 13(\cos x)' = 2 \cos x - 13(-\sin x) = 2 \cos x + 13 \sin x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
$y'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) + 13 \sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, подставляем эти значения:
$y'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 + 13 \cdot 1 = 13$.
Ответ: 13.

б) Дана функция $y = -\cos x + \frac{1}{\pi}x^2$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (-\cos x + \frac{1}{\pi}x^2)' = -(\cos x)' + \frac{1}{\pi}(x^2)' = -(-\sin x) + \frac{1}{\pi}(2x) = \sin x + \frac{2x}{\pi}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
$y'(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Дана функция $y = -\sin x - 3$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\sin x)' = \cos x$ и $(C)' = 0$, где $C$ - константа.
$y' = (-\sin x - 3)' = -(\sin x)' - (3)' = -\cos x - 0 = -\cos x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $y = 4 \cos x + x\sqrt{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(kx)' = k$.
$y' = (4 \cos x + x\sqrt{2})' = 4(\cos x)' + (x\sqrt{2})' = 4(-\sin x) + \sqrt{2} = -4\sin x + \sqrt{2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
$y'(\frac{\pi}{4}) = -4\sin(\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение:
$y'(\frac{\pi}{4}) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = -2\sqrt{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.