Номер 41.30, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.30. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:

а) $y = 3x + 12;$

б) $y = 2x^3 + 15x;$

в) $y = -2 \sin x + 4x;$

г) $y = 3x - 1,5 \cos x.$

а)

Дана функция $y = 3x + 12$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Чтобы доказать, что производная функции принимает положительные значения, найдем эту производную.
$y' = (3x + 12)' = (3x)' + (12)' = 3 \cdot 1 + 0 = 3$.
Производная данной функции является константой и равна 3. Поскольку $3 > 0$, производная всегда положительна при любых значениях аргумента $x$.
Ответ: производная $y' = 3$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

б)

Дана функция $y = 2x^3 + 15x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 + 15x)' = (2x^3)' + (15x)' = 2 \cdot 3x^2 + 15 = 6x^2 + 15$.
Теперь проанализируем знак полученного выражения $6x^2 + 15$.
Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $6x^2 \ge 6 \cdot 0$, то есть $6x^2 \ge 0$.
Прибавив к обеим частям неравенства 15, получим: $6x^2 + 15 \ge 15$.
Так как $15 > 0$, то и производная $y' = 6x^2 + 15$ всегда положительна при всех допустимых значениях $x$.
Ответ: производная $y' = 6x^2 + 15$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

в)

Дана функция $y = -2 \sin x + 4x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (-2 \sin x + 4x)' = (-2 \sin x)' + (4x)' = -2 \cos x + 4 = 4 - 2 \cos x$.
Проанализируем знак выражения $y' = 4 - 2 \cos x$.
Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot (-2) \ge -2 \cos x \ge 1 \cdot (-2)$, что эквивалентно $2 \ge -2 \cos x \ge -2$.
Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 + 2 \ge 4 - 2 \cos x \ge 4 - 2$, что дает $6 \ge y' \ge 2$.
Таким образом, значения производной лежат в отрезке $[2, 6]$. Поскольку наименьшее значение производной равно 2, а $2 > 0$, производная всегда принимает положительные значения.
Ответ: производная $y' = 4 - 2 \cos x$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

г)

Дана функция $y = 3x - 1.5 \cos x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (3x - 1.5 \cos x)' = (3x)' - (1.5 \cos x)' = 3 - 1.5(-\sin x) = 3 + 1.5 \sin x$.
Проанализируем знак выражения $y' = 3 + 1.5 \sin x$.
Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 1.5:
$-1 \cdot 1.5 \le 1.5 \sin x \le 1 \cdot 1.5$, что эквивалентно $-1.5 \le 1.5 \sin x \le 1.5$.
Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1.5 \le 3 + 1.5 \sin x \le 3 + 1.5$, что дает $1.5 \le y' \le 4.5$.
Таким образом, значения производной лежат в отрезке $[1.5, 4.5]$. Поскольку наименьшее значение производной равно 1.5, а $1.5 > 0$, производная всегда принимает положительные значения.
Ответ: производная $y' = 3 + 1.5 \sin x$ всегда положительна, что и требовалось доказать.