Номер 41.29, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.29. a) $y = \frac{\sin x}{x}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \frac{x+1}{x-1}$, $x_0 = 2$;

В) $y = \frac{\cos x}{x}$, $x_0 = \pi$;

Г) $y = \frac{2x}{x+1}$, $x_0 = 0$.

а) $y = \frac{\sin x}{x}, x_0 = \frac{\pi}{2}$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $y(x)$ и вычислить её значение в точке $x_0$.

Функция $y(x)$ представляет собой частное двух функций: $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y'(x) = \frac{(\cos x) \cdot x - (\sin x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:

$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1}{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{-1}{\frac{\pi^2}{4}} = -\frac{4}{\pi^2}$

Ответ: $-\frac{4}{\pi^2}$

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x_0 = 2$

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = x-1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x+1)' = 1$

$v'(x) = (x-1)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2$

Ответ: $-2$

в) $y = \frac{\cos x}{x}, x_0 = \pi$

Применим правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{(-\sin x) \cdot x - (\cos x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = \frac{-\pi \sin(\pi) - \cos(\pi)}{\pi^2}$

Так как $\sin(\pi) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$y'(\pi) = \frac{-\pi \cdot 0 - (-1)}{\pi^2} = \frac{1}{\pi^2}$

Ответ: $\frac{1}{\pi^2}$

г) $y = \frac{2x}{x+1}, x_0 = 0$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = x+1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x)' = 2$

$v'(x) = (x+1)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{2 \cdot (x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{2}{(0+1)^2} = \frac{2}{1^2} = 2$

Ответ: $2$