Номер 41.32, страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.32. a) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^3 - 3x$ принимает положительные значения;

б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x^4$ принимает отрицательные значения;

в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = \sqrt{x} + x$ принимает неотрицательные значения;

г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = 7 \cos x + 12$ принимает неположительные значения.

а)

Чтобы найти значения аргумента, при которых производная функции $y = x^3 - 3x$ принимает положительные значения, сначала найдем саму производную.

Используя правила дифференцирования, получаем:
$y' = (x^3 - 3x)' = (x^3)' - (3x)' = 3x^2 - 3$.

Теперь нам нужно решить неравенство $y' > 0$ относительно $x$:
$3x^2 - 3 > 0$
Делим обе части на 3:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 1)(x + 1) > 0$

Это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x = -1$ и $x = 1$. График функции $f(x) = x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б)

Найдем производную функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x^4$.

$y' = (x^5 - \frac{5}{4}x^4)' = (x^5)' - (\frac{5}{4}x^4)' = 5x^4 - \frac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^4 - 5x^3$.

По условию, производная должна принимать отрицательные значения, то есть $y' < 0$.
Решим неравенство:
$5x^4 - 5x^3 < 0$
Вынесем общий множитель $5x^3$ за скобки:
$5x^3(x - 1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули выражения в левой части: $x = 0$ и $x = 1$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $5 \cdot 2^3(2-1) = 40 > 0$.
- На интервале $(0; 1)$ (например, при $x=0.5$): $5 \cdot (0.5)^3(0.5-1) = 5 \cdot 0.125 \cdot (-0.5) < 0$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ (например, при $x=-1$): $5 \cdot (-1)^3(-1-1) = 5 \cdot (-1) \cdot (-2) = 10 > 0$.
Неравенство выполняется на интервале $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в)

Найдем производную функции $y = \sqrt{x} + x$.
Сначала определим область определения функции: из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Найдем производную, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
$y' = (\sqrt{x} + x)' = (x^{1/2} + x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.
Область определения производной: $x > 0$, так как $\sqrt{x}$ находится в знаменателе.

По условию, производная должна принимать неотрицательные значения, то есть $y' \ge 0$.
Решим неравенство с учетом области определения производной ($x>0$):
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \ge 0$

Для любого $x > 0$ выражение $\sqrt{x}$ является положительным числом. Следовательно, дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда положительна. Сумма положительного числа $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и числа 1 всегда будет положительна. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из области определения производной.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г)

Найдем производную функции $y = 7\cos x + 12$.

$y' = (7\cos x + 12)' = (7\cos x)' + (12)' = -7\sin x + 0 = -7\sin x$.

По условию, производная должна принимать неположительные значения, то есть $y' \le 0$.
Решим неравенство:
$-7\sin x \le 0$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\sin x \ge 0$

Решением этого тригонометрического неравенства являются такие значения $x$, при которых синус неотрицателен. На единичной окружности это соответствует углам в I и II координатных четвертях, включая границы. Это интервал от $0$ до $\pi$ и все интервалы, полученные добавлением целого числа периодов $2\pi$.

Таким образом, решение можно записать в виде двойного неравенства: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.